Polarkoordinaten ableiten, PDE-Lösung

16.08.2020, 12:42	AbleitungsNoob	Auf diesen Beitrag antworten »
Polarkoordinaten ableiten, PDE-Lösung Meine Frage: Moin, gehe grade eine ÜA zu PDEs durch und komme nicht weiter. Sei $\begin{eqnarray} \alpha \in (0,2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Omega = \left\{ (r\cos(\phi), r \sin(\phi)), \text{ für } r \in (0,1), \phi \in (0, \phi \alpha)\right\} \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist, dass die Funktion $\begin{eqnarray} u(r\cos(\phi), r \sin(\phi)) = r^{1/\alpha}\sin(\phi/\alpha) \end{eqnarray}$ die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \Delta u = 0 \text{ und } u = r^{1/\alpha}\sin(\phi/\alpha) \text{ auf } \delta \Omega \end{eqnarray}$ erfüllt. Meine Ideen: Die Randbedingung ist ja offensichtlich gegeben. Probleme habe ich bei der Auswertung des Laplace-Operators, da ich nicht erkenne welche Regeln genau angewandt werden müssen. Stumpfes Ableiten nach $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ liefert: $\begin{eqnarray} \delta_r^2 u = \frac{1}{\alpha}( \frac{1}{\alpha} - 1) r^{1/\alpha - 2} \sin(\phi/\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta_\phi^2 u = -\frac{1}{\alpha^2}r^{1/\alpha} \sin(\phi/\alpha) \end{eqnarray}$ Womit die Summe nicht 0 wäre. Daher wäre ich für ein paar Typs dankbar. LG AbleitungsNoob
17.08.2020, 09:13	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polarkoordinaten ableiten, PDE-Lösung In Polarkoordinaten gilt: $\begin{eqnarray} \Delta f(r,\varphi)=\frac {\partial^2 f}{\partial r^2}+\frac 1 r \frac {\partial f}{\partial r}+\frac 1 {r^2}\frac {\partial^2 f}{\partial \varphi^2} \end{eqnarray}$ Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Op...wei_Dimensionen

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