Bijektion zeigen via Angabe einer Umkehrfunktion

Neue Frage »

Marla Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion zeigen via Angabe einer Umkehrfunktion
Meine Frage:
Ich habe eine Funktion f:A -> B, von der ich zeigen möchte, dass sie bijektiv ist. Zudem ist gegeben, dass |A| \leq |B|. Ich will nun aus formalen Gründen NICHT die Injektivität und Surjektivität direkt beweisen.

Nun habe ich aber einen Kandidaten einer Funktion g:B->A, die als Umkehrfunktion von f in Frage kommt. Dazu habe ich nun ein paar Fragen:

1.) Wie zeige ich, dass g die Umkehrfunktion von f ist? Reicht es, wenn ich zeige, dass g(f(a))=a für alle A, oder muss ich auch zeigen, dass f(g(b))=b für alle b? Ich frage das, weil ich die Literatur so verstehe, dass man beides zeigen muss, aber mir fällt kein Beispiel ein, wo das erste gilt, das zweite aber nicht. Vielleicht kann mir da jemand helfen.

2.) Wenn ich bewiesen habe, dass g die Umkehrfunktion von f ist, sind dann f und g automatisch bijektiv und somit A und B gleichmächtig?

Meine Ideen:
Ich habe überlegt, dass ich auf jeden Fall f(g(b))=b zeigen muss. Mir ist unklar, ob ich auch g(f(a))=a zeigen muss. Ich verstehe die Literatur so, dass ich das doch muss, weiß aber nicht warum.

Ich denke außerdem, dass 2.) gilt. Aber ich kann es nicht beweisen. Ich habe irgendwo gelesen, dass bijektiv gilt, genau dann, wenn umkehrbar gilt. Aber ich finde diese Quelle nicht mehr und bin daher verunsichert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektion zeigen via Angabe einer Umkehrfunktion
Zitat:
Original von Marla
Ich habe überlegt, dass ich auf jeden Fall f(g(b))=b zeigen muss. Mir ist unklar, ob ich auch g(f(a))=a zeigen muss. Ich verstehe die Literatur so, dass ich das doch muss, weiß aber nicht warum.


Nehmen wir zum Beispiel und und die Funktionen



(wie im Reellen üblich als nichtnegative Wurzel aufzufassen)

Hier ist , dagegen .
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »