Chebyshev-Polynome Put, Call, Forward

19.08.2020, 21:40

doki1994

Chebyshev-Polynome Put, Call, Forward

Meine Frage:
Kann mir jemand bitte an einem Beispiel genau erklären, was ich machen soll?
Es wäre echt nett, falls jemand mit Pseudo-Werten es mir grob beschreiben kann.
Falls Sie mehr Informationen brauchen kann ich es beifügen.

Ein erstes Zwischenziel der Arbeit ist, die Preisfunktionen für Put/Calls/Forwards mit Tschebyscheff-/Chebyshev-Polynomen zu interpolieren (genauer: durch Interpolation zu approximieren): Setzen Sie dazu für den maximalen Aktienkurs Ihrer Aktie den Wert $M$ aus der Historie, so wollen wir den Preis von Calls, Puts und Forwards auf die Aktie zu einem von Ihnen zu wählenden Strike (bspw. dem Mittelwert aller Aktienkurse oder dem Aktienkurs zum Zeitpunkt $t-2y$, $t-1y$ oder $t$) als Funktion des Aktienkurses (alle anderen Parameter wie Laufzeit fest [bspw. $T=3y$, $r=0,1\%$, keine Dividenden, $\sigma=40\%$]) mithilfe der Tschebyscheff-/Chebyshev-Polynomen auf dem Intervall $[0;3M]$ durch Interpolation approximieren (und die Fehler betrachten).

Meine Ideen:
Ich weiß nicht wie ich es mathematisch darstellen soll :/
Ich habe mit den historischen Daten schon eine Monte-Carlo-Simulation durchgeführt und habe alle Daten die ich brauche.

20.08.2020, 10:18

Ehos

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Die Tschebyschow-Polynome 1.Art sind gewisse Polynome, mit denen man beliebige Funktionen f(x), welche im Intervall [-1;+1] gegeben sind, approximieren kann. Es gibt unendlich viele Tschebyschow-Polynome. Die ersten 5 Tschebyschov-Polynome lauten (Quelle: WIKIPEDIA):

$\begin{eqnarray*} T_0(x)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_1(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_2(x)=2x^2-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_3(x)=4x^3-3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_4(x)=8x^4-8x^2+1 \end{eqnarray*}$
...

Die Approximation einer Funktion f(x) im Intervall [-1;+1] lautet damit

$\begin{eqnarray*} f(x)=k_0\cdot T_0(x)+k_1\cdot T_1(x)+k_2\cdot T_2(x)+k_3 \cdot T_3(x)+k_4 \cdot T_4(x)+... \end{eqnarray*}$

Die noch unbekannten Koeffizienten $\begin{eqnarray*} k_0, k_1, k_2, k_3, k_4, ... \end{eqnarray*}$ gewinnt man durch folgende Integrale

$\begin{eqnarray*} k_n=\frac{\int_{-1}^{+1}f(x)\cdot T_n(x)\cdot \tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx}{\int_{-1}^{+1}T_n(x)\cdot T_n(x)\cdot \tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx} \end{eqnarray*}$

Je mehr Summanden die obige Summe hat, um so genauer wird die Approximation. Wenn das Intervall nicht lautet [-1+1], sondern ganz beliebig [a;b], dann kann man alles durch eine Variablentranformation $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x' \end{eqnarray*}$ wie folgt umtransformieren:

$\begin{eqnarray*} x'=\tfrac{1}{2} \cdot \left [ b(x+1)+a(1-x)\right ] \end{eqnarray*}$

20.08.2020, 12:34

doki1994

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Meine Preisfunktionen sind P_{0} und C_{0} für einen Put und Call.
Verstehe jetzt nicht wie ich das approximieren soll, da die nicht von x abhängig sind.
Kannst du mir einen Tipp geben bitte.

21.08.2020, 09:56

Huggy

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Das ist eine mehr als merkwürdige Frage. Es sollte dir doch klar sein, dass man die Variable der T-Polynome statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , Beckenbauer oder Lichtjahr oder sonst wie nennen darf. Umgekehrt kann man auch die Variable in den Black-Scholes-Formeln, bezüglich der man die T-Approximation machen möchte, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nennen.

21.08.2020, 10:27

Ehos

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Bei WIKIPEDIA findet man unter dem Suchbegriff "Black-Scholes-Modell" diejenige Formel, die in deinem Attachement angegeben ist. Dort findet man auch die Bedeutung der Variablen. Demnach entspricht die Zeit t der Variablen x in den Tschebyschov-Polynomen. Alle anderen Größen innerhalb der Formel werden als konstant betrachtet:

- S=aktueller Aktienkurs
- r=Zinssatz
- T=Gesamtlaufzeit
- K=Basispreis
- $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ =Verteilungsfunktion (bestimmtes Intergal)
usw.

Die Differenz T-t ist die Restlaufzeit. Die Zeitvariable t läuft also im Intervall $\begin{eqnarray*} t \in [0;T] \end{eqnarray*}$ . Im Gegensatz dazu läuft die Variable x der Tschebyschov-Polynome im Intervall $\begin{eqnarray*} x \in [-1;+1] \end{eqnarray*}$ . Bevor man also die Tschebyschv-Polynome zur Approximation verwendet, muss man in deiner Formel folgende Substitution vornehmen:

$\begin{eqnarray*} t=\tfrac{T}{2}\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$

Damit ist das Intervall $\begin{eqnarray*} t \in [0;T] \end{eqnarray*}$ auf das Intervall $\begin{eqnarray*} x \in [-1;+1] \end{eqnarray*}$ abgebildet. Setzt man nämlich in die Transformation die Intervallgrenzen x=-1 bzw. x=+1 ein, erhält man die gewünschten Zeit-Intervallgrenzen t=0 bzw. t=T. Nachdem man diese Substitution $\begin{eqnarray*} t \rightarrow x \end{eqnarray*}$ in deiner Formel durchgeführt hat, kann man die Approximation mittels Tschebyschov-Polynonem wie beschrieben durchführen. Wenn die Approximation berechnet wurde, muss man die umgekehrte Transformation $\begin{eqnarray*} x \rightarrow t \end{eqnarray*}$ machen, um wieder die Variable t zu erhalten:

$\begin{eqnarray*} x=\tfrac{2}{T}\cdot t-1 \end{eqnarray*}$

23.08.2020, 16:57

doki1994

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Ich bin jetzt etwas weiter gekommen.
Danke für die Tipps.
Eine andere Frage ist, wie man die Verteilungsfunktionen der Standardnormalverteilungen bestimmen kann um somit wie oben die $k_{n}$ zu bestimmen.

23.08.2020, 18:42

Huggy

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Die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi (x) \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung ist durch das Integral über ihre Dichtefunktion definiert. Dieses Integral kann nur numerisch bestimmt werden. Deshalb hatte man früher Tabellen dafür. Heute ist $\begin{eqnarray*} \Phi (x \end{eqnarray*}$ ) in den meisten Rechnern als aufrufbare Funktion implementiert. Es gibt auch Internetrechner dafür.

24.08.2020, 09:27

Ehos

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@ doki1994
Du hast meinen Beitrag fast wörtlich in dein Dokument übernommen. Meine Formeln sind formal richtig. Trotzdem ist mir der Sinn deines Problems nicht ganz klar.

Du willst zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} C_0(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_0(t) \end{eqnarray*}$ , welche den Preis einer Aktie in Abhängigkeit von der Zeit angeben, mit Hilfe der Tschebyschov-Polynome approximieren. Frage: In welche Form hast du die beiden Funktionen gegeben? Eine Approximation macht nur dann einen Sinn, wenn du beide Funktionen in numerischer Form gegeben hast - also jeweils als n Zahlenpaare $\begin{eqnarray*} [t_n;C_0(t_n)] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [t_n;P_0(t_n)] \end{eqnarray*}$ mit n=0, 1, 2, ... n. Wenn du diese Funktionen dagegen schon als Formeln gegeben hast, macht eine Approximation keinen Sinn, weil diese Approximation "schlechter" wird als die ursprünglichen Formeln.

Überlege bitte nochmal, was der Sinn deiner ursprünglichen Frage ist. Es kann nämlich sein, dass alle Formeln in deinem Text richtig sind und trotzdem am Problem vorbei gehen. Mir persönlich ist nicht klar, warum man einen Aktienkurs gerade durch Tschebyschov-Polynome approximieren sollte.

03.10.2020, 16:03

doki1994

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Also ich muss nach diesem Paper das Problem lösen:

https://qmro.qmul.ac.uk/xmlui/bitstream/...e=1&isAllowed=y

Ich verstehe es leider nicht...
Die normalisierten call und put preise sind verständlich, aber ich weißt jetzt wie ich diese genau nach chebysehv ausdrücke und die Fehler berechne

05.10.2020, 14:45

Huggy

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Der gesamte Ablauf ist komplex. Es wird nicht recht klar, an welcher Stelle du ein Problem hast.

Es geht ja darum, eine nur aufwendig zu berechnende Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ - bei dir $\begin{eqnarray*} v(x,c) \end{eqnarray*}$ - durch ein zweidimensionales Polynom zu interpolieren, wobei als Stützstellen der Interpolation die Tschebyscheff-Stützstellen verwendet werden sollen. Es gilt also zunächst den Grad des Polynoms festzulegen, vorzugsweise gleich für die beiden Variablen. Daraus ergeben sich die Stützstellen im Quadrat $\begin{eqnarray*} [-1,1] \times [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Diese Stützstellen werden nun auf den zu betrachteten Bereich $\begin{eqnarray*} [x_{min},x_{max}] \times [y_{min},y_{max}] \end{eqnarray*}$ transformiert und dort jeweils $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet. Die berechneten Werte werden den Stützstellen im untransformierten Bereich $\begin{eqnarray*} [-1,1] \times [-1,1] \end{eqnarray*}$ zugeordnet. Jetzt kann man für diesen Bereich die Koeffizienten des Interpolationspolynoms $\begin{eqnarray*} p(x,y) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Hast du bis hier Probleme? Wo genau?

Die Interpolation selbst ist trivial. Wenn man $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ an einer bestimmten Stelle in $\begin{eqnarray*} [x_{min},x_{max}] \times [y_{min},y_{max}] \end{eqnarray*}$ interpolieren möchte, transformiert man $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (\hat x, \hat y) \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} [-1,1] \times [-1,1] \end{eqnarray*}$ und berechnet $\begin{eqnarray*} p(\hat x, \hat y) \end{eqnarray*}$ . Das ist der gesuchte interpolierte Wert.

Da bei diesem Verfahren das Interpolationspolynom recht schnell sehr umfangreich wird, ist in dem Papier auf ein Verfahren verwiesen, den Umfang des Interpolationspolynoms zu reduzieren ohne zu viel an Genauigkeit zu verlieren. Zu diesem Verfahren sind aber nur die Literaturstellen angegeben. Wenn du auch das implementieren möchtest, musst du diese Literaturstellen konsultieren.

05.10.2020, 21:59

doki1994

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Danke für die Rückmeldung.
Das hast du überragend zusammengefasst.
Also mein Problem ist, dass es etwas zu komplex unübersichtlich aufgebaut ist im Paper
Ich brauche ein Beispiel indem ich das Verfahren verstehen kann.

Wie bestimmt man [x_min,x_max]×[c_min,c_max] ?
Muss man dann zum Beispiel für ein Zeitraum t=252 Tage alle Schlusskurse berechnen und dann anhand der Formel x für alle 252 Tage x berechnen und dann das min & max bestimmen ? Analog zu c auch ?

Wenn ja. Wäre ich dann fertig ?

Und wie kann ich dann die Fehler bestimmen ?

Mir macht es auch zu schaffen wie ich es als 3D-Plot darstellen soll am Ende -.-

Und danke nochmal !!

06.10.2020, 10:19

Huggy

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Zitat:

Original von doki1994
Wie bestimmt man [x_min,x_max]×[c_min,c_max] ?

Das ist keine mathematische Frage. Das hängt von deiner konkreten Aufgabenstellung, von dem Ziel deiner Arbeit ab. Wenn es nur darum geht, das Verfahren zu verstehen, könntest du doch den Bereich aus Kap. 3 des Papiers betrachten.

Zitat:

Wenn ja. Wäre ich dann fertig ?

Die Frage verstehe ich nicht. Die eigentliche Arbeit ist doch die Bestimmungs des Interpolationspolynoms.

Zitat:

Und wie kann ich dann die Fehler bestimmen ?

Du könntest den gewählten Bereich $\begin{eqnarray*} [x_{min},x_{max}] \times [c_{min},c_{max}] \end{eqnarray*}$ mit einem Gitter mit gleichen Abständen zwischen den Gitterpunkten überziehen, auf den Gitterpunkten $\begin{eqnarray*} v(x,c) \end{eqnarray*}$ einmal mit einem numerischen Verfahren berechnen und einmal mit dem Interpolationspolynom $\begin{eqnarray*} p(x,c) \end{eqnarray*}$ . Der Fehler auf den Gitterpunkten ist dann $\begin{eqnarray*} p(x_i,c_j)-v(x_i,c_j) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Mir macht es auch zu schaffen wie ich es als 3D-Plot darstellen soll am Ende -.-

Das ist eine Frage der verwendeten Software. Die Autoren haben mit Matlab gearbeitet und das hat offenbar die entsprechenden Funktionen. Aber auch für C++ oder andere Programmiersprachen findet man in Programmbibliotheken mit Sicherheit die entsprechenden Routinen.

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