Vektorrechnung Winkel und Länge berechnen

20.08.2020, 13:59

Mangnesium

Vektorrechnung Winkel und Länge berechnen

Meine Frage:
Guten Tag,

folgende Aufgabe:
gegeben:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ mit Betrag 3, $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ mit Betrag 4, Winkel zwischen a und b $\begin{eqnarray*} \alpha =60°, \vec{c} = 3*\vec{b} - 2*\vec{a} \end{eqnarray*}$

Gesucht: Winkel der von a und c eingeschlossen wird und Länge von c

Meine Ideen:
Ich komme leider auf keinen Ansatz.
Ich weiß, dass man den Betrag mit der Wurzel aus den einzelnen Komponenten berechnet, doch hier sind diese Komponenten nicht gegeben.

Vielleicht kann mir jemand zu einem richtigen Ansatz verhelfen

Danke

Willkommen im Matheboard!
Ich habe das LaTeX etwas korrigiert, damit die Formeln lesbarer werden.
Viele Grüße
Steffen

20.08.2020, 17:32

Leopold

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Du hast nicht erklärt, was $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ ist. Ich vermute einmal, es ist der Winkel zwischen $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ . Aus den Angaben ergibt sich die Zeichnung.

[attach]51821[/attach]

Als erstes könntest du einmal das Skalarprodukt $\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} \end{align*}$ bestimmen. Das ist mit den Angaben über diese beiden Vektoren unmittelbar möglich.

Später machst du dich dann an $\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{c} \end{align*}$ heran. Für $\begin{align*} \vec{c} \end{align*}$ substituierst du den gegebenen Term und verwendest die Rechenregeln für das Skalarprodukt.

20.08.2020, 21:18

andyrue

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ich komm auf ein gl-system mit drei gleichungen, allerdings leider kein lineares,

andy

20.08.2020, 22:16

Leopold

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Nicht kompliziert denken. Es geht ganz von alleine.

Der erste Schritt: den 60°-Winkel einbringen

$\begin{align*} \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} = \cos(60^{\circ}) \ \ \Leftrightarrow \ \ \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \end{align*}$

Der zweite Schritt: den Term für $\begin{align*} \vec{c} \end{align*}$ einbringen

$\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \left( 3 \, \vec{b} - 2 \, \vec{a} \right) = \ldots \end{align*}$

Die maßstabsgetreue Zeichnung zeigt ja, worauf es hinauslaufen wird.

21.08.2020, 13:03

andyrue

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mein ansatz (im 3D-koordinatensystem)

wähle einen möglichen vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (die von leopold vorgegebene skizze spielt sich bei mir in der $\begin{eqnarray*} x_{2} x_{3} \end{eqnarray*}$ - Ebene ab ... es gäbe da auch andere Möglichkeiten ..)

Nun weiß ich den Winkel und die Längen und kann mit sinus und cosinus die einzelnen komponenten des vektors b ausrechnen, ich komm auf

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der rest wär dann geritzt,

ich komm mit dem 2. schritt von leopold nicht ganz klar.

andy

21.08.2020, 13:29

Leopold

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Mit Gewalt versuchst du das in eine Koordinatenrechnung zu zwängen. Das ist vollkommen überflüssig:

$\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \left( 3 \, \vec{b} - 2 \, \vec{a} \right) = 3 \, \vec{a} \cdot \vec{b} - 2 \, \vec{a}^{\, 2} = 3 \cdot 6 - 2 \cdot 9 = 0 \end{align*}$

Damit stehen $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{c} \end{align*}$ senkrecht aufeinander.

Jetzt fehlt nur noch die Länge von $\begin{align*} \vec{c} \end{align*}$ . Dazu berechnet man in ähnlicher Weise

$\begin{align*} \vec{c}^{\, 2} = \left( 3 \, \vec{b} - 2 \, \vec{a} \right)^2 = \ldots \end{align*}$

Hinterher noch die Wurzel. Fertig.

Es geht übrigens auch elementargeometrisch. Das Dreieck in meiner Zeichnung besitzt einen 60°-Winkel. Die anliegenden Seiten haben das Verhältnis 1:2. Es handelt sich also um ein durch eine Symmetrieachse halbiertes gleichseitiges Dreieck. Damit ergeben sich sämtliche Winkel. Pythagoras erledigt den Rest.

21.08.2020, 14:22

andyrue

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ja, aber wenn die aufgabenstellung wäre:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ mit betrag 2,3

$\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ mit betrag 5,1

der winkel, den die beiden vektoren bilden soll 29° sein,

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = 3\vec{a} + 13\vec{b} \end{eqnarray*}$

hätt ich mit deiner lösung probleme,

andy

21.08.2020, 14:44

Leopold

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Das geht genau so. Bei häßlichen Zahlen natürlich häßliche Ergebnisse.

$\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} = 11{,}73 \cos(29^{\circ}) \end{align*}$

$\begin{align*} \left| \vec{c} \right| = \sqrt{c^2} = \sqrt{\left( 3 \, \vec{a} + 13 \, \vec{b} \right)^2} = \frac{3}{10} \sqrt{2 \left( 24685 + 5083 \cos(29^{\circ}) \right)} \approx 72{,}41 \end{align*}$

$\begin{align*} \cos(\gamma) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{c} \right|} = \frac{1587 + 15249 \cos(29^{\circ})}{69 \sqrt{2 \left( 24685 + 5083 \cos(29^{\circ}) \right)}} \approx 0{,}89609 \end{align*}$

$\begin{align*} \gamma \approx 26{,}35^{\circ} \end{align*}$

Modulo Rechenfehler.

21.08.2020, 20:38

klauss

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Zitat:

Original von andyrue
ja, aber wenn die aufgabenstellung wäre:

Weitere Beispiele könntest Du auch alternativ mit der Übertragung des Cosinussatzes auf Vektoren angehen:
$\begin{eqnarray*} | \vec{u} +\vec{v} |^{2}=| \vec{u} |^{2}+| \vec{v} |^{2}\textcolor{red}{+}2| \vec{u} | | \vec{v} |cos\left[\angle\left(\vec{u} ;\vec{v} \right) \right] \end{eqnarray*}$

Zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} | \vec{c} |^{2} \end{eqnarray*}$ setze nun im 1. Fall
$\begin{eqnarray*} \vec{u}=3\vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=-2\vec{a} \end{eqnarray*}$
und im 2. Fall
$\begin{eqnarray*} \vec{u}=3\vec{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=13\vec{b} \end{eqnarray*}$

Dann gilt es nur aufzupassen, welchen Winkel man in den Cosinus einsetzt!

Nach meiner Erfahrung ist obige Gleichung in der Schule nicht wirklich präsent, auch nicht die Begründung für das rote 'Plus', wo doch im Cosinussatz eigentlich ein Minus steht. Es lohnt sich aber, sich das einmal klarzumachen.

21.08.2020, 22:15

Leopold

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Wo ist hier der Vorteil gegenüber der bekannten Darstellung

$\begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} \ = \ \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \cos(\varphi) \end{align*}$ (wobei $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ der Winkel zwischen den Vektoren sei)

Ich sehe nur, daß mit deinem Ansatz alles ein wenig umständlicher wird. Letztlich ist es natürlich egal, denn das sind sowieso alles nur äquivalente vektortechnische Formulierungen des elementargeometrischen Cosinus-Satzes.

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