Ableiten ohne Produktregel

22.08.2020, 10:00

minili

Ableiten ohne Produktregel

Meine Frage:
Hallo, ich soll eine Funktion ableiten und den Extremwert bestimmten, dabei aber die Produktregel umgehen (die bei uns noch nicht dran kam, wir sie daher noch nicht können).

Das heißt aus der Funktion
$\begin{eqnarray*} A=a*\sqrt{400-\frac{b^{2}}{4} } *0,5 \end{eqnarray*}$
wird
$\begin{eqnarray*} A^{2}=a^{2}*(400-\frac{b^{2}}{4} )*0,25 \end{eqnarray*}$

LaTeX-Tags korrigiert. Steffen

Meine Ideen:
Wenn ich diese Funktion nun ableite, leite ich die rechte Seite dann ganz normal ab (damit habe ich keine Schwierigkeiten) und leite dann auch die linke Seite ab, sodass dort 2A steht?
Mir ist das Vorgehen nicht so ganz klar. Muss ich am Ende dann alles durch zwei teilen um den Extremwert zu kennen? Und bin dann fertig?
Oder muss ich danach noch mal ableiten, da 2A ja nun noch nicht die eigentliche Ableitung ist?

22.08.2020, 10:39

minili

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Danke fürs Korrigieren! Jetzt sehe ich direkt den nächsten Fehler - fürs nächste Mal sollte ich mich registrieren!
In der Funktion kommt nur eine Variable vor. Also a=b

22.08.2020, 10:47

bloodborne

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Man quadriert den Funktionsterm ja nur, damit die Wurzel wegfällt und es einfacher zum ableiten ist.
Das darf man deshalb, weil sich die Extremstellen dadurch nicht ändern.

$\begin{eqnarray*} A^{2}=g(b)=b^{2} \cdot (400-\frac{b^{2}}{4} ) \cdot 0,25\\ \end{eqnarray*}$

Löse also ganz normal die Klammern auf und bilde mit Hilfe der Potenzregel die 1. und 2. Ableitung von g(b).

22.08.2020, 10:56

Leopold

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@ minili

Es fehlt die Angabe der Funktionsvariablen. Ich vermute einmal, daß das $\begin{align*} b \end{align*}$ ist. bloodborne hat aus dem $\begin{align*} a \end{align*}$ einfach mal so schwuppdiwupp ein $\begin{align*} b \end{align*}$ gemacht. Wie er darauf kommt, muß er selber erklären.

Für das Ganze braucht man übrigens überhaupt keine Ableitung, wenn das Original mit $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ richtig ist. Denn bei dieser speziellen quadratischen Funktion kann man alles am Funktionsterm ablesen.

Sollte bloodborne mit seiner Umdeutung richtig liegen, kann man ausmultiplizieren und ableiten, wie man das von Polynomen kennt.

22.08.2020, 10:58

bloodborne

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Zitat:

Wie er darauf kommt, muß er selber erklären.

Zitat:

Jetzt sehe ich direkt den nächsten Fehler - fürs nächste Mal sollte ich mich registrieren! In der Funktion kommt nur eine Variable vor. Also a=b

22.08.2020, 11:03

minili

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Hallo bloodborne,

danke für deine Antwort. Das habe ich auch schon gemacht.
Ich war mir nur noch nicht sicher, ob das dann auch das Endergebnis ist, oder ob ich hier noch irgendwas machen müsste.

$\begin{eqnarray*} A^{2}= 100b^{2}- \frac{b^{4}}{16} =g(b) \\ g'(b) = 200b-\frac{b^{3}}{4} \\\\ g'(b) = 0 \\ \Rightarrow b_{1}=0\\ 200 - \frac{b^{2}}{4} = 0 \\ \Rightarrow b_{2,3}= \pm \sqrt{800} \\ \end{eqnarray*}$

Dann noch die zweite Ableitung.

Aber das wäre dann hier schon die Lösung? Ich muss das A^2 einfach ignorieren?

22.08.2020, 11:05

minili

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Hallo Leopold,

auch dir ein Danke, dass du dich mit meiner Frage beschäftigst smile

Das mit dem a und b war mein Fehler. Leider kann ich als unregistrierter Schreiber meinen Beitrag nicht verbessern.

Liebe Grüße

22.08.2020, 12:32

Huggy

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Zitat:

Original von minili
Aber das wäre dann hier schon die Lösung? Ich muss das A^2 einfach ignorieren

Ganz so einfach ist die Sache nicht. Zunächst mal hängt es davon ab, für welche Werte von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} A(b) \end{eqnarray*}$ im Rahmen der Aufgabe definiert ist. Wenn in dem Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sein Vorzeichen nicht ändert, dann ist in diesem Definitionsbereich das Quadrieren eine streng monotone Funktion und die beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ haben an denselben Stellen ihre Extremwerte. Das gilt sowohl für lokale wie für Randextrema. Dann stellt sich noch die Frage, ob nur nach lokalen Extrema gefragt ist oder auch nach Randextrema. Für Randextrema muss die Ableitung ja nicht Null sein.

22.08.2020, 12:54

minili

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Hallo Huggy,

ex geht um eine Extremwertaufgabe - und um Seitenlängen eines Dreiecks. Daher sind nur die positiven Werte von Interesse.

22.08.2020, 13:10

Huggy

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In diesem Fall kannst du getrost die Stellen bestimmen, an denen $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ ein lokales Extremum hat, weil $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an genau denselben Stellen ein lokales Extremum hat, weil wenn $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sein Vorzeichen nicht ändert, dann auch die gegebene Funktion $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ihr Vorzeichen nicht ändert.

Es verbleibt dann nur ein Kandidatenpunkt für ein lokales Extremum. Den musst du auch nicht mit der zweiten Ableitung näher untersuchen. In einem abgeschlossenen Intervall hat eine stetige Funktion ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum. Du musst dir also nur die Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an den Enden des Definitionsbereichs und an dem Kandidatenpunkt bestimmen, um zu sehen, dass der Kandidatenpunkt ein lokales und absolutes Maximum ist.

22.08.2020, 15:45

Dopap

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RE: Ableiten Ohne Produktregel

Zitat:

Original von minili
[...] Funktion
$\begin{eqnarray*} A=a*\sqrt{400-\frac{b^{2}}{4} } *0,5 \end{eqnarray*}$

bitte etwas mehr Sorgfalt :

$\begin{eqnarray*} A(b):= a*\sqrt{400-\frac{b^{2}}{4} } *0,5 \quad 0\leq b\leq 40 \end{eqnarray*}$

oder etwas schöner

$\begin{eqnarray*} A(b):= \frac {a}{4}\cdot \sqrt{1600-b^2 }\quad 0\leq b\leq 40 \end{eqnarray*}$

das ist gut für's Denken und erleichtert die Arbeit.
$\begin{eqnarray*} A(b) \end{eqnarray*}$ ist jetzt stets positiv und Obiges von Huggy gilt.

nur: wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} g(b)=100b^2-\frac{b^4}{16} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Ich sehe hier mehrere Fehler gleichzeitig.

22.08.2020, 16:14

Helferlein

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@Dopap:

Laut den Antworten von minili um 10:39 und 11:03 ist a=b und $\begin{eqnarray*} g(b)=A^2 \end{eqnarray*}$ .
Das führt dann auf die Darstellung von bloodborne.

23.08.2020, 10:17

minili

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Danke an euch ! smile

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