Maximum des Produkts der Integer Partition

22.08.2020, 15:57	Marla	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum des Produkts der Integer Partition Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} n,k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , seien $\begin{eqnarray} a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{R}_{\geq 0} \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^k a_i =n. \end{eqnarray}$ Beweise, dass dann gilt: $\begin{eqnarray} \prod\limits_{i=1}^k a_i \leq \left( \frac{n}{k}\right)^k \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Im Fall von $\begin{eqnarray} k=2 \end{eqnarray}$ lässt sich das leicht zeigen, indem ich $\begin{eqnarray} a_2=n-a_1 \end{eqnarray}$ verwende und dann das Produkt als Funktion von $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ auffasse. Dann kann ich einfach ableiten und so ein lokales Maximum bei $\begin{eqnarray} a_1=\frac{n}{2} \end{eqnarray}$ finden. Dann folgt wegen $\begin{eqnarray} a_2=n-a_1 \end{eqnarray}$ , dass auch $\begin{eqnarray} a_1=\frac{n}{2} \end{eqnarray}$ gilt. Somit ist das Produkt dann durch $\begin{eqnarray} \frac{n}{2} \cdot \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ nach oben beschränkt. Aber wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} k>2 \end{eqnarray}$ betrachte, dann bin ich unschlüssig. Per Induktion ist schwierig, weil wenn ich von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} k+1 \end{eqnarray}$ gehe, dann ist im Nenner ja schon $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und eben gerade nicht $\begin{eqnarray} k+1 \end{eqnarray}$ . Wegen der höheren Potenz hat man dann auch eine binomische Formel. Ich habe es nicht richtig umformen können, um das Problem zu lösen. Vielleicht geht ein Ansatz über partielle Ableitungen? EDIT(Helferlein): Latex korrigiert. Die Klammer muss direkt hinter dem Wort latex enden.
22.08.2020, 16:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dürft ihr die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel benutzten?
23.08.2020, 14:22	Marla	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke schon, aber ich bin nicht sicher, ob ich weiß, welche Ungleichung gemeint ist Edit: Ich habe die Ungleichung nachgeschaut und jetzt sehe ich auch, wie mich das weiterbringt. Danke!!!

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