Polynomial with complex coefficients

23.08.2020, 17:56

hawe

Polynomial with complex coefficients

Hallo zusammen,

ich versuche gerade den Aufsatz von

http://weitz.de/fund/

in GeoGebra umzusetzen.

Er erwähnt dabei

There's even a simple formula which tells you algebraically how large |z| has to be depending on the coefficients of p(z)

Kennt jemand diese Formel und kann einen Pointer darauf setzen?

23.08.2020, 18:03

Leopold

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Das ist noch keine sinnvolle mathematische Aussage:

"There's even a simple formula which tells you algebraically how large |z| has to be depending on the coefficients of p(z) ..."

... um was zu erreichen?

23.08.2020, 18:09

IfindU

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Wenn man im Link nachliest

Zitat:

The main point here is that we can make |z| so large that the curve through which p(z) passes will always be outside a circular disk around zero, no matter how p(z) looks. And we can make the disk as large as we want. (There's even a simple formula which tells you algebraically how large |z| has to be depending on the coefficients of p(z), but I'll refrain from showing it here.)

Man meint hier von den Satz von Roche: Wiki

23.08.2020, 19:26

hawe

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Danke,

werde mal schauen...

Zur Visualisierung, grafischen Lösung von complexen Polynomen.

https://www.geogebra.org/m/acqgydfv

24.08.2020, 11:07

PWM

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Hallo,

geht es um eine Formel zur Frage: Gegeben $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ gesucht $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ , so dass gitl: $\begin{eqnarray*} |z|>r \Rightarrow |p(z)|> \delta \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja, dann kann man das so machen: Man nimmt grundsätzlich $\begin{eqnarray*} r>1 \end{eqnarray*}$ und schätzt ab:

$\begin{eqnarray*} |p(z)| \geq |a_n||z|^n-\sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |z|^k \geq |a_n||z|^n-\sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |z|^{n-1} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} |p(z)| \geq|z|^{n-1}(|a_n||z|-\sum_{k=0}^{n-1} |a_k|) \end{eqnarray*}$

Jetzt wählt man r so, dass die Klammer größer als 1 wird und dann vergrößert man r je nach vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$

Gruß pwm

24.08.2020, 13:22

hawe

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Ja, das passt denke ich.

Alle Nullstellen soltten dann in einem Kreis um die höchste Potenz mit den Radius aus der Summe der Beträge der restlichen Polynomglieder zu finden sein.
Ich arbeite diese Abschätzung bei Gelegenheit in die App ein...

und Danke für den Input!

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