Ko- und kontravariante Komponenten

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25.08.2020, 00:00	EatMyShorts	Auf diesen Beitrag antworten »
Ko- und kontravariante Komponenten Hallo, ich habe eine kurze Frage bzgl. ko- und kontravariante Komponenten. Gemäß walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=Kovariante+und+Kontravariante+Komponenten kann ein Vektor in einem anderen Koordinatensystem sowohl über kovariante als auch über kontravariante Komponenten beschrieben werden. Es ist also möglich, hin und her zu transformieren. In der Physik, z.B., wird die Tensoralgebra in der Elastizitätstheorie oder in der Relativitätstheorie genutzt. Meine Frage wäre jetzt, ob die Darstellungen in der Literatur in den jeweilgen Theorien auch transformiert werden könnten? Also ganz grob nach der Idee: Spannungstensor ist über kontravarianten Komponenten beschrieben in der Literatur ... kann ich diesen auch über kovarianten Komponenten ausdrücken? LG
25.08.2020, 02:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Indizes von Vektoren (und beliebigen Tensoren) von oben nach unten "ziehen". Das geschieht, indem man den Vektor (Tensor) mit der Metrik $\begin{eqnarray} g_{ij} \end{eqnarray}$ multipliziert, welche eine symmetrische nxn-Matrix darstellt. Beispiel 1: Hier wird der Index des Vektors "herunter gezogen" gemäß $\begin{eqnarray} x_i=g_{ij}x^j \end{eqnarray}$ Beispiel 2: Hier wird der 2.Index des Tensors "herunter gezogen" gemäß $\begin{eqnarray} {{T^m}_i}^{n}=g_{ij}T^{mjn} \end{eqnarray}$ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Umgekehrt kann man die Indizes von Vektoren (und beliebigen Tensoren) auch von unten nach oben "ziehen". Das geschieht, indem man den Vektor (Tensor) mit der oben indizierten Metrik $\begin{eqnarray} g^{ij} \end{eqnarray}$ multipliziert, welche die inverse Matrix zu $\begin{eqnarray} g_{ij} \end{eqnarray}$ darstellt und welche ebenfalls symmetrisch ist Beispiel 3: Hier wird der Index des Vektors "herauf gezogen" $\begin{eqnarray} x^j=g^{ij}x_i \end{eqnarray}$ Beispiel 4: Hier wird der 2.Index des Tensors "herauf gezogen" gemäß $\begin{eqnarray} {{T_h}^i}_k=g^{ij}T_{hjk} \end{eqnarray}$ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Wichtig ist, dass sich beim Herauf- und Herunterziehen der Indizes nur die Zahlenwerte der Koordinaten der (Vektoren) Tensoren ändern. Die Physik bleibt dadurch unberührt. Aus physikalischer Sicht sind z.B. die Vektoren $\begin{eqnarray} x^i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ identisch. Man kann beide als ein und denselben Vektor in unterschiedlichen Koordinatensystemn auffassen - also bezüglich unterschiedlicher Basen. Die Motivation für das gleichzeitige Einführen von oberen und unteren Indizes besteht allein darin, dass man so das Auftreten der Metrik $\begin{eqnarray} g_{ik} \end{eqnarray}$ in allen Formeln unterdrückt, so dass die Formeln unabhängig vom Koordinatensystem (und der Basis) werden.
25.08.2020, 02:36	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die kovarianten Komponenten gehören allerdings nicht zum Vektor, sondern zum zugehörigen Kovektor, der im Dualraum des Vektorraums liegt. Demnach soll jedem Vektor eindeutig ein Kovektor zugeordnet sein. Mit anderen Worten bedarf es also einer bijektiven linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi\colon V\to V^ \end{eqnarray}$ . Hat man nun eine Basis von $\begin{eqnarray} (e_i) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , gibt es dazu die eindeutig bestimmte duale Basis $\begin{eqnarray} (e^i) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ . Die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ bezüglich diesem Basispaar beschreibt nun die Umrechnung von kontravarianten zu kovarianten Komponenten. Wo $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ herkommt? Das ergibt sich nur unter bestimmten Umständen auf natürliche Weise. Ist $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ endlichdimensional und $\begin{eqnarray} B\colon V^2\to K \end{eqnarray}$ eine nicht ausgeartete Bilinearform, kann man $\begin{eqnarray} \Phi(v)(w) := B(v,w) \end{eqnarray*}$ setzen. Das kann z.B. sein ein metrischer oder allgemeiner pseudometrischer Tensor, oder eine symplektische Form am jeweiligen Punkt einer Mannigfaltigkeit. Wozu der ganze Krempel nun gut sein soll, ist eine andere Frage.
25.08.2020, 07:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder Mensch und jede Gemeinschaft von Menschen und anderen Lebewesen hat das Recht, eine eigene Sprache, Schrift, Philosophie, Religion, Kultur, Politik, Wirtschaft, Naturwissenschaft, Geisteswissenschaft und Mathematik zu entwickeln und zu gebrauchen. Manches davon halten auch Außenseiter für gut und sinnvoll, man kann aber von niemandem erwarten, dass alles akzeptiert wird, es wäre schon ein gewaltiger Fortschritt, wenn jeder Mensch etwas mehr Toleranz aufbringen könnte. Ganz sicher wird es niemals eine Vereinheitlichung von Sprache, Schrift usw. geben können, die Vektoren der Physiker seien ihnen gegönnt, solange sie sie für nützlich halten.
25.08.2020, 11:57	EatMyShorts	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Zusammenhänge sind alle klar. Was mich eher Interessiert wäre, waum z.B. die Einsteinischen Feldgleichungen (oder halt andere Gleichungen aus der Physik) genau so in der Litertatur auftauchen, obwohl diese auch mit dem 'Gegenstück' beschrieben werden könnte?
25.08.2020, 12:11	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei allen Gleichungen kann man die Indizes, über welche nicht summiert wird, beliebig oben oder unten schreiben, ohne dass sich die Physik ändert. Auf beiden Seiten der Gleichung muss aber stets dasselbe "Indexbild" stehen. Das bedeutet: Wenn irgend ein Index auf der linken Seite der Gleichung oben steht, muss derselbe Index auch auf der rechten Seite der Gleichung oben stehen. Bei Summationsindizes innerhalb von Produkten muss dagegen stets ein Index oben und ein Index unten stehen, wobei man deren Stellung wiederum vertauschen kann.
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25.08.2020, 12:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Physikalische Gleichungen treten so auf, wie sie von Physikern benutzt werden und für Physiker bequem sind. Das hat historische Gründe, und im Idealfall sind sich im Laufe der Zeit viele Physiker einig geworden, so dass sie die gleiche Sprache sprechen und sich gegenseitig verstehen. So ist das Leben, warum sollte man das ändern ? Welcher Tyrann könnte sich anmaßen, die Sprache denkender Menschen verändern zu wollen ? Soll man dann so wie in George Orwells Roman "1984" auch die historischen Bücher vereinheitlichen ? Uns und unseren Nachfolgern bleibt nur, die Wissenschaft zusammen mit der Wissenschaftssprache und der Wissenschaftsgeschichte zu studieren. Große Wissenschaftler definieren ihre eigenen Begriffe und ihre eigenen Kalküle und ihre eigenen Formeln, uns kleinen Zwergen bleibt nur die Anpassung - oder groß werden.
25.08.2020, 17:53	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Es liegt mir fern, einen eleganten Formalismus kurzum für redundant erklären zu wollen. Angesichts des expliziten pluralistisch-multikulturellen Plädoyers, dieses aber nicht verneinend, mag ich noch ein wenig Niveau-trollen. Mein folgender Beitrag ist also überspitzt und muss nicht allzu ernst genommen werden. Die Vierergeschwindigkeit ist definiert als $\begin{eqnarray} U^\mu := \dot X^\mu = \tfrac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}X^\mu = \gamma\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}X^\mu, \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \gamma := \tfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{eqnarray}$ der Lorentzfaktor ist. Die Metrik ist $\begin{eqnarray} (g_{ij}) = \operatorname{diag}(1,-1,-1,-1) \end{eqnarray}$ . Folgt man nun dem Formalismus, findet man $\begin{eqnarray} U^\mu U_\mu = c^2 \end{eqnarray}$ . Das geht auch ohne Indizes. Man definiere dazu die quadratische Form $\begin{eqnarray} q(U) := g(U,U) = (U^0)^2 - (U^1)^2 - (U^2)^2 - (U^3)^2. \end{eqnarray}$ Die Eigenschaft ist nun in der Form $\begin{eqnarray} q(U) = c^2 \end{eqnarray}$ beschrieben. Auch zur Bestätigung bedarf es keinen Indizes mehr, denn $\begin{eqnarray} q(U) = q(\gamma \tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}X) = \gamma^2 q(\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}X) = \gamma^2 (c^2-v^2) = \frac{c^2}{c^2-v^2}\cdot (c^2-v^2) = c^2. \end{eqnarray}$ So, die Indizes sind wir schon einmal los. Bleibt noch Frage, wo der substantielle Gewinn liegt, wenn wir $\begin{eqnarray} U^\flat(U) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \Phi(U)(U) \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} g(U,U) \end{eqnarray}$ schreiben. Dann taucht da das Symbol $\begin{eqnarray} \flat \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf. Eine endlose Zahl grauer Buchseiten. Indizes hier, Summen über Indizes da, Differentiale kürzen oder geheimnisvoll erweitern dort. Substitutionen, viele Substitutionen. Zudem taucht eine groteske Zahl kniffliger Tricks auf. Und am Ende der Woche sind wir so schlau wie zuvor. Formalismus allein erklärt so wenig, wie die Benutzung eines Rechenschiebers die Analysis erklärt.
25.08.2020, 21:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Finn_ Jeder, der erstmalig mit dieser Index-Akrobatik zu tun bekommt, ist zunächst ein "Indexfeind". Für dich gilt das vielleicht bis heute. Du hast sogar teilweise recht: Wenn man es nur mit Tensoren der Stufe $\begin{eqnarray} m\leq 2 \end{eqnarray}$ zu tun - also mit Vektoren und Matrizen -, käme man in der Tat ohne Indizes aus und könnte alle Gleichungen in Vektor- bzw. Matrixschreibweise schreiben. Beispiel 1: Anstelle des Skalarprodukt $\begin{eqnarray} g_{ij}x^i y^j \end{eqnarray}$ würde man einfach ohne Indizes schreiben $\begin{eqnarray} \vec x\cdot G \vec y \end{eqnarray}$ , wobei G eine Matrix ist usw.. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Leider funktioniert diese indexfreie Schreibweise nicht mehr, wenn Tensoren der Stufe $\begin{eqnarray} m>2 \end{eqnarray}$ auftreten. Beispiel 2: Der Krümmungstensor $\begin{eqnarray} R^{hijk} \end{eqnarray}$ hat die Stufe m=4. Wenn dieser in Gleichungen auftritt, muss man Indizes verwenden. Beispiel 3: Die Determinante von m=4 Vektoren $\begin{eqnarray} a^h, b^i, c^j, d^k \end{eqnarray}$ berechnet man mit dem Levi-Civita-Tensor $\begin{eqnarray} \epsilon_{hijk} \end{eqnarray}$ gemäß $\begin{eqnarray} \epsilon_{hijk}a^h b^i c^j d^k \end{eqnarray}$ Beides kann man nur in der Indexschreibweise aufschreiben, wenn man nicht die gesamte Summe explizit aufschreiben will, was sehr umständlich wäre.
27.08.2020, 14:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich Roger Penrose & Wolfgang Rindler, Vol I, Spinors, Vol II, Twistors, Cambridge 1984+1985 studiere, dann scheint mit die Sprache und Schrift der Physiker dem Gegenstand der Wissenschaft angemessen zu sein. Ich kann mir nicht vorstellen, dass ein Mathematiker vermessen genug wäre, diese 900 Seiten in eine Standardsprache übersetzen zu wollen, denn diese Leute haben Standards gesetzt.
27.08.2020, 19:04	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir mal was, was nicht ganz so abgehoben ist. Die relativistischen Maxwell-Gleichungen sind ja im Ricci-Kalkül formulierbar gemäß siehe hier: Covariant formulation of classical electromagnetism: Maxwell's equations in vacuum. Im hübschen Artikel Mathematical descriptions of the electromagnetic field gibt es eine Formulierung mittels Clifford-Algebra, wo sich das dann zur Gleichung $\begin{eqnarray} \nabla F = \mu_0 c J \end{eqnarray}$ reduziert. Hierbei entspricht $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ dem Feldstärketensor und $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ der Viererstromdichte. Das $\begin{eqnarray} \mu_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ sind wie gewohnt die magnetische Feldkonstante und die Lichtgeschwindigkeit. Siehe nun A simplified approach to electromagnetism using geometric algebra (arXiv:1010.4947v2 [physics.ed-ph]), da die Tabelle auf S. 5, die rechte Spalte, alles ohne Indizes. Vorsicht, in dem Paper wird $\begin{eqnarray} \Box=\nabla \end{eqnarray}$ geschrieben, und $\begin{eqnarray} \Box^2 \end{eqnarray}$ antelle von $\begin{eqnarray} \Box \end{eqnarray}$ für den Wellenoperator. Das entbehrt doch nicht einer gewissen Ästhetik.
27.08.2020, 19:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So abgehoben ist das auch wieder nicht. Tristan Needham weist in seiner "Anschauliche(n) Funktionentheorie" auf Kapitel 1 von Penrose/Rindler hin, weil da sehr schön der Zusammenhang zwischen Möbiustransformationen als schlichten Abbildungen der Riemannschen Zahlenkugel und den Lorentztransformationen der Raumzeit herausgearbeitet wurde. Es soll Mathematiker und Physiker geben, die das noch nicht kennen. Roger Penrose ist für mich ein Musterbeispiel für die Synthese aus Mathematik und Physik, weil er beide Sprachen simultan spricht und jeweils die geeigneten Kalküle anwendet. Hamiltonsche Quaternionen bringt er dabei auch noch ins Spiel, und er weiß, was eine Divisionsalgebra ist. Spinoren sind übrigens invertierbare komplexe 2x2-Matrizen, die gebrochen lineare Transformationen, also die Möbiustransformationen, darstellen.

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