Diophantische Gleichung

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Diophantische Gleichung
seien

  • bestimme alle Lösungstripel für diegilt


eine Lösung lässt sich leicht numerisch bestimmen.
Der Beweis aber anscheinend nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diophantische Gleichung
Zitat:
Original von Dopap
eine Lösung lässt sich leicht numerisch bestimmen.


Ich dachte, es geht hier um ganze Zahlen. Aber vielleicht hast du dich auch in der Wortwahl vertan und meinst statt "numerisch" "durch Probieren".



Für erhält man auf der rechten Seite der Reihe nach die Primzahlen 2,3,7. Diesen Wert müßte dann auch ein Faktor links bekommen. Die um 1 vergrößerten Werte 3,4,8 sind aber keine Fakultäten. Damit ist die Gleichung unlösbar.

Im Fall steht rechts 25. Mit der Produktdarstellung geht es wieder nicht, denn 26 ist keine Fakultät. Aber mit kommt man zu einer Lösung. Denn , so daß geht.

Ähnlich kann man die nächsten durchgehen und die Unlösbarkeit nachweisen. Für große scheidet die triviale Produktdarstellung wegen der Abstände aufeinanderfolgender Fakultäten aus, so daß man nur betrachten muß. Daß aber außer für noch einmal das Produkt zweier Zahlen, die genau 1 unter einer Fakultät liegen, eine Zahl ergibt, die genau 1 über einer Fakultät liegt, halte ich für extrem unwahrscheinlich.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, irgendwie eklig diese Gleichung. Mir fällt über Leopolds Überlegungen hinaus auf die Schnelle nur folgendes ein:

Sei eine Lösung mit und folglich dann auch . Angenommen, es gibt eine Primzahl mit , dann gilt , aber und , was im Widerspruch zu steht.

Das bedeutet, wenn es überhaupt noch weitere Lösungen gibt, dann müssen zugehörige so nah beieinander liegen, dass keine Primzahl "dazwischen" passt. Ob das wirklich was nützt bei weiteren Überlegungen hinsichtlich des Nachweises "keine weiteren Lösungen" sei dahingestellt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die ansprechenden Antworten.

@Leopold: richtig geraten, numerisch bedeutet bei mir mit Taschenrechner
obwohl dieser im "exakten Modus" schon saubere Ergebnisse liefert, sozusagen durch Probieren.

So auch hier : im gibt es nur das Tripel
Dangalf Auf diesen Beitrag antworten »

Ausgehend von HALs Erkenntnis kann man die Ausgangsgleichung durch teilen und so umstellen:

Weil ist, ist eine natürliche Zahl, somit ist die ganze linke Seite ganzzahlig. Für die rechte Seite gilt damit , und gemeinsam mit der Voraussetzung folgt .
Damit erhalten wir für eingesetzt und neuerlich umgestellt (mit ).

führt zu , keine Lösung (, bzw. ist nie 3).
führt zu , daraus folgt und damit , passt.
führt zu , daraus folgt , daher ,aber
Für ist eine natürliche Zahl und führt zu .Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist genau eine durch 3 teilbar und mindestens eine gerade, daher ist durch 6 teilbar. Ebenso ist durch 6 teilbar, weil ist. Die Differenz ist aber , was nicht durch 6 teilbar ist, Widerspruch. Daher gibt es keine weiteren Lösungen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hut ab! Freude

Zitat:
Original von Dangalf

Weil ist, ist eine natürliche Zahl, somit ist die ganze linke Seite ganzzahlig. Für die rechte Seite gilt damit , und gemeinsam mit der Voraussetzung folgt .

Da hab ich wohl zu früh aufgegeben. Hammer
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

überzeugend! Freude
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