Parallel, aber warum?

31.08.2020, 10:10	Tauroggen	Auf diesen Beitrag antworten »
Parallel, aber warum? Meine Frage: Ich laß: "Die Punkte A und B [einer nach oben geöffneten Parabel]werden mit einer Sekante verbunden. Legt man nun im Punkt M [das soll nach der Beschreibung der Punkt der Parabel sein, dessen Abszissenwert mittig zwischen den Projektionen der Punkte A u. B auf die Abszisse liegt.] die Tangente an, so verläuft diese parallel zu der Sekante." Meine Ideen: Ist das denn stimmig? Gibt es da einen Satz der dies beschreibt? Mir scheint eher, der Autor hat die Parallele zur Sekante durch M gezogen. Dann einen Kaffee getrunken und als er sich wieder hinsetzte sich bei seiner Beschreibung durch die Parallelität beeindrucken lassen. Wobei mir schon klar ist, dass es auf jedem Intervall [A,B] einen Punkt zu geben muss, dessen Tangente gleichzeitig Parallele zur Sekante ist. Aber warum sollte das ausgerechnet der mittige M sein?
31.08.2020, 10:27	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parallel, aber warum? Mit den Hilfsmitteln der Analysis kann man das durchaus beweisen. Nimm eine beliebige Parabel $\begin{eqnarray} y=ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ , zwei beliebige Abszissenwerte $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und rechne zunächst allgemein die Sekantensteigung $\begin{eqnarray} \frac {y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray}$ aus. Dann vergleiche mit der Steigung $\begin{eqnarray} y'(x_m) \end{eqnarray}$ der Parabel beim Mittelwert $\begin{eqnarray} x_m=\frac {x_1+x_2}2 \end{eqnarray}$ . Viele Grüße Steffen
31.08.2020, 11:05	Tauroggen	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es da bestimmte Anforderungen an die Art bzw. Qualität der Kurve? Oder trifft das "immer" zu?
31.08.2020, 11:11	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das jetzt nicht weiter verfolgt, aber für beliebige Parabeln zweiter Ordnung gilt es jedenfalls immer.
31.08.2020, 15:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich kann man das direkt der Lösungsformel für quadratische Gleichungen entnehmen. Nehmen wir für festes $\begin{align} a \neq 0 \end{align}$ die Parabel $\begin{align} p: \ y = ax^2 \end{align}$ und die Schar der Geraden $\begin{align} g_t: \ y = bx + t \end{align}$ wobei wir uns $\begin{align} b \end{align}$ fest denken und $\begin{align} t \end{align}$ als Scharparameter. Die $\begin{align} g_t \end{align}$ bilden also eine Parallelenschar. Die Schnittgleichung lautet $\begin{align} ax^2 - bx - t = 0 \end{align}$ Lösungen existieren, wenn $\begin{align} D = b^2 + 4at \geq 0 \end{align}$ ist. In diesem Fall sind die Abszissen der Schnittpunkte gegeben durch $\begin{align} x = \frac{b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{D}}{2a} \end{align}$ Die Mittelwert der beiden Abszissenwerte ist gerade $\begin{align} \frac{b}{2a} \end{align}$ - und darin kommt $\begin{align} t \end{align}$ nicht vor. Das ist alles. Die Tangente ist der Grenzfall, bei dem die beiden Abszissenwerte zu ihrem Mittelwert zusammenfallen.
15.09.2020, 12:04	Tauroggen	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin! 1. Algebraisch Ich habe auf dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=3x^{2} \end{eqnarray}$ zwei Punkte $\begin{eqnarray} P_{1} (b\|3b^{2}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_{2} (a\|3a^{2}) \end{eqnarray}$ gewählt. $\begin{eqnarray} a>b. \end{eqnarray}$ Die Steigung der Sekante ergibt sich zu $\begin{eqnarray} 3(a+b) \end{eqnarray}$ . Deren Mitte liegt bei $\begin{eqnarray} x= \frac{a+b}{2} \end{eqnarray}$ . Wenn ich die Steigung der Funktion gleichsetze mit der Steigung der Sekante erhalte ich mit $\begin{eqnarray} 6x={3(a+b)} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} x=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray}$ den identischen Punkt auf der Abszisse. qed 2. Geometrisch Ich habe irgendwo gelesen, dass diese Frage bereits von Archimedes gelöst worden wäre. Kluger Kopf, der Mann. Oder sagt man so etwas immer, wenn man nicht weiß woher das kommt oder es zu trivial erscheint? Jedenfalls dachte ich mir, dass Archimedes bestimmt nicht gerechnet hat und es mir Pflicht sei, die Fähigkeiten in Geometrie der Menschen des 20. Jahrhunderts unter Beweis zu stellen. Es scheint, wenn man sich mal da hineingedacht hat, recht simpel: Ich benutzte den Strahlensatz. Den Scheitel lege ich in $\begin{eqnarray} P_{1} \end{eqnarray}$ indem ich durch diesen Punkt die Parallele $\begin{eqnarray} Par \end{eqnarray}$ zur Abszisse ziehe. Sie schneidet die Gerade $\begin{eqnarray} C (a\|f(a)-f(b)) \end{eqnarray}$ . Zu der Strecke $\begin{eqnarray} f(a)-f(b) \end{eqnarray}$ ziehe ich die Parallele durch M. M liegt auf der Sekante und halbiert sie. Nach dem ersten Strahlensatz halbiert diese Gerade durch M auch $\begin{eqnarray} Par \end{eqnarray}$ . qed (leider kann ich dazu keine Skizze liefern) 3. Ich habe obige Rechnung(1) auch für $\begin{eqnarray} f(x)=x^3 \end{eqnarray}$ probiert. Bin aber gescheitert. Ist das grundsätzlich für höhere Funktionen so? Ich zweifle zumindest für die kubische Funktion daran, denn unter Ausnutzung dieser geometrischen Umstände stimmt ja die Keplernäherung auch für kubische Funktionen exakt.
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