Kosinussignal mit Verschiebung

02.09.2020, 03:16

Gast006

Kosinussignal mit Verschiebung

Meine Frage:
Die Zeitverschiebung eines Kosinussignal der Frequenz $\begin{eqnarray*} F \text{ um } {t}_{0} \end{eqnarray*}$ lässt sich auch als Phasenverschiebung mit $\begin{eqnarray*} \varphi = -2 \cdot \pi F {t}_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos{(2 \pi F(t - {t}_{0}))} = \cos{(2 \pi F t + \varphi)} = \Re{{e}^{j 2 \pi F {t}_{0}}{e}^{j \varphi}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} \Re{{e}^{j 2 \pi F {t}_{0}}{e}^{j \varphi}} \end{eqnarray*}$ ?

02.09.2020, 03:20

Gast006

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Also auf
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}{({e}^{j2 \pi F {t}_{0}} {e}^{j \varphi})} \end{eqnarray*}$

02.09.2020, 08:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gast006
Meine Ideen:
Wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} \Re{{e}^{j 2 \pi F {t}_{0}}{e}^{j \varphi}} \end{eqnarray*}$ ?

Nun ja, korrekt ist erstmal: $\begin{eqnarray*} \Re({e^{j 2 \pi F t} e^{j \varphi}}) \end{eqnarray*}$

Alles weitere basiert auf: $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}{(e^{j \alpha} \cdot e^{j \beta})} = \operatorname{Re}{(e^{j (\alpha + \beta)})} = \cos(\alpha + \beta) \end{eqnarray*}$ smile

02.09.2020, 13:11

Gast006

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Was passiert eigentlich mit dem 1/2 vor den exponenten ?
Also:
$\begin{eqnarray*} \cos{(2 \pi F (t - {t}_{0}))} = \cos{(2 \pi F t + \varphi)} = \frac{{e}^{j (2 \pi F t + \varphi)} + {e}^{-j (2 \pi F t + \varphi)}}{2} \end{eqnarray*}$ Ist denn hier der 3.Term rechts von der Gleichung, nicht bereits der Realteil ?
Wie komme ich denn darauf das der Nenner und rechts vom plus Zeichen also das
$\begin{eqnarray*} \frac{{e}^{-j(2 \pi F t + \varphi)}}{2} \end{eqnarray*}$ Nicht zum Realteil gehören ?
Die 2 im Nenner ist doch rein reell

02.09.2020, 13:53

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Gast006
Was passiert eigentlich mit dem 1/2 vor den exponenten ?

Ich seh da kein 1/2 vorm Exponenten. Was meinst Du?

Zitat:

Original von Gast006
Ist denn hier der 3.Term rechts von der Gleichung, nicht bereits der Realteil ?

Ja, $\begin{eqnarray*} \frac{{e}^{j (2 \pi F t + \varphi)} + {e}^{-j (2 \pi F t + \varphi)}}{2} \end{eqnarray*}$ ist der Realteil von $\begin{eqnarray*} {e}^{j (2 \pi F t + \varphi)} \end{eqnarray*}$ . Siehe z.B. Wiki.

Zitat:

Original von Gast006
Wie komme ich denn darauf das der Nenner und rechts vom plus Zeichen also das
$\begin{eqnarray*} \frac{{e}^{-j(2 \pi F t + \varphi)}}{2} \end{eqnarray*}$ Nicht zum Realteil gehören ?

Ich weiß leider auch nicht, wie Du darauf kommst. Sie gehören durchaus zum Term des Realteils, genauso wie $\begin{eqnarray*} {e}^{j (2 \pi F t + \varphi)} \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

02.09.2020, 13:59

Gast006

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Mit 1/2 war die 2 im Nenner gemeint

02.09.2020, 14:08

Steffen Bühler

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Gut, dann ist das geklärt, oder?

02.09.2020, 14:58

Gast006

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Wie könnte man dann folgendes in der Real- und Imaginär Notation aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac{{e}^{j \varphi} + {e}^{-j \varphi} + 1}{2} \end{eqnarray*}$

02.09.2020, 15:01

Gast006

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Ist das dann:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}{\left({e}^{j \varphi} + \frac{1}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ ?

02.09.2020, 15:09

Steffen Bühler

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Das stimmt zwar, allerdings ist unklar, was Du unter "Real- und Imaginär Notation" verstehst. Persönlich würde ich $\begin{eqnarray*} \Re \left( \frac{{e}^{j \varphi} + {e}^{-j \varphi} + 1} {2} \right) = \dots \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Im \left( \frac{{e}^{j \varphi} + {e}^{-j \varphi} + 1} {2} \right) = \dots \end{eqnarray*}$ berechnen.

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