Zentraler Grenzwertsatz, unabhängig und identisch verteilt, etc.

02.09.2020, 12:22

mnk5077

Zentraler Grenzwertsatz, unabhängig und identisch verteilt, etc.

Hallo zusammen,

mein zweiter Post heute - ich glaube das Forum und ich werden noch gute Freunde Big Laugh

Ich habe eine etwas allgemeinere Frage, allerdings auch im Zusammenhang mit zwei Aufgaben, die ich euch unten angehängt habe.
Zunächst habe ich etwas Probleme mit dem Verständnis des zentralen Grenzwertsatzes. In der Theorie finde ich ihn relativ verständlich, insbesondere durch diese Erklärung: "Der Mittelwert einer beliebigen Verteilung n oder die Summe unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen mit zunehmendem Stichprobenumfang n nähern sich der Normalverteilung an". Allerdings habe ich ziemliche Probleme damit zu rechnen. Gibt es irgendwie Tipps, wie man sich solchen Aufgaben annähern kann?

Ich denke nur eine der Aufgaben hat etwas mit dem zentralen Grenzwertsatz zu tun (hoffe ich zumindest) aber die andere löst das gleiche Unverständnis in mir aus.

Ich wäre sehr froh, wenn mich jemand an das Ganze ranführen könnte. Für einen Lösungsweg bin ich selbstverständlich auch dankbar.

VG

Mark

02.09.2020, 14:57

HAL 9000

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Da du prinzipiell mit Normalverteilung rechnen kannst liegen deine Probleme wohl darin, die konkreten Parameter dieser Normalverteilung rauszukriegen, oder?

Da greifen zwei Eigenschaften für die Summe von Zufallsgrößen:

1) Der Erwartungswert der Summe ist gleich der Summe der Erwartungswerte.

2) Unter der zusätzlichen Voraussetzung der paarweisen Unabhängigkeit der Summanden ist die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen.

Das bedeutet für $\begin{eqnarray*} S_n = X_1+\ldots+X_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E(X_k)=\mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X_k)=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ dann ganz einfach $\begin{eqnarray*} E(S_n)=n\mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(S_n)=n\sigma^2 \end{eqnarray*}$ . Der ZGWS sagt nun, dass $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ näherungsweise $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(n\mu,n\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt ist.

Aufgabe F52 sollte damit dann machbar sein.

Bei F46 kann man so rangehen: Es ist ja $\begin{eqnarray*} Y_i=h(X_i) \end{eqnarray*}$ mit Transformationsfunktion $\begin{eqnarray*} h(t) = \begin{cases} t &\;\mbox{für}\;t\leq 3\\ 0&\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} E(Y_i) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t)f_{X_i}(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ . Um den ZGWS geht es hier augenscheinlich gar nicht, sondern "nur" um das Gesetz der Großen Zahlen (GGZ).

02.09.2020, 16:24

mnk5077

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Der zentrale Grenzwertsatz macht nun um einiges mehr Sinn. Ausgehend von deinem "Ansatz" war der Rest der Rechnung dann kein Problem mehr.

Um vorweg eine Begrifflichkeit zu klären: der "Grenzwert nach Wahrscheinlichkeit" beschreibt in diesem Sinne den Erwartungswert, oder wie kann ich mir das vorstellen? Da du ja ganz unten $\begin{eqnarray*} E(Y_i) \end{eqnarray*}$ angegeben hast.

So ganz steige ich ehrlichweise beim Gesetz der großen Zahlen noch nicht durch. Entsprechend mein Versuch: $\begin{eqnarray*} E(Y_i) = \int_{0}^{3} \! 1/(3-0) * 1/(4-0) \, dx \end{eqnarray*}$
Ist das, was du dir bei der Funktion vorgestellt hast? Ich habe sie mittels der Definition aus den Vorlesungen aufgestellt. Allerdings würde ich so mit Sicherheit nicht auf das Lösungsintervall kommen. Deshalb nehme ich einfach mal an, dass du es anders gemeint hast.. Hammer

03.09.2020, 08:59

Huggy

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Zitat:

Original von mnk5077
$\begin{eqnarray*} E(Y_i) = \int_{0}^{3} \! 1/(3-0) * 1/(4-0) \, dx \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? Der Erwartungswert einer Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist doch definiert als

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x f(x)dx \end{eqnarray*}$

Bei dir fehlt das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Integral. Stattdessen steht ein mysteriöses $\begin{eqnarray*} 1/3 \end{eqnarray*}$ .

03.09.2020, 09:16

mnk5077

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Das 1/3 habe ich vom h(t) von HAL9000 "abgeleitet" - anscheinend falsch interpretiert geschockt

Das fehlende x im Integral war definitiv einem langen Tag geschuldet. Jetzt stimmt auch das Ergebnis. Vielen Dank euch beiden!

Würde nur zum Verständnis nochmal eine Anschlussfrage stellen:

Der "Grenzwert nach Wahrscheinlichkeit" beschreibt (zumindest in diesem Zusammenhang) den Erwartungswert einer ZV, die von einer anderen ZV abhängig ist? Bzw. welchen Werte eine ZV annimmt, wenn sie gegen einen bestimmten Wert strebt? Gibt es da eine Erklärung für dummies?

03.09.2020, 09:49

Huggy

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Die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ sind gemischt diskret/stetig. Mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 1/4 \end{eqnarray*}$ nehmen sie den diskreten Wert $\begin{eqnarray*} Y_i=0 \end{eqnarray*}$ an. Im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,3] \end{eqnarray*}$ haben sie die Dichte $\begin{eqnarray*} 1/4 \end{eqnarray*}$ . Ganz ausführlich ist also ihr Erwartungswert

$\begin{eqnarray*} E(Y_i)=0 \cdot \frac 1 4 + \int\limits_0^3 \frac x 4 dx \end{eqnarray*}$

03.09.2020, 10:46

HAL 9000

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Ja, ich hatte das "gemischt diskret/stetig" zu vermeiden gesucht, indem ich eben jenes $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eingeführt habe. Mit dem gilt $\begin{eqnarray*} E(Y_i) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t)f_{X_i}(t) ~ \dd t = \frac{1}{4} \int\limits_0^4 h(t) ~ \dd t = \frac{1}{4} \int\limits_0^3 t ~ \dd t = \frac{9}{8} \end{eqnarray*}$ .

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