Affine Abbildungen

03.09.2020, 02:14

Avamo

Affine Abbildungen

Meine Frage:
Hallo,
Ich hätte eine Frage zu der Aufgabe (Siehe Bild)
Ich kann mit affinen Abbildungen einigermaßen umgehen , wenn es Ursprungsgeraden sind, aber diese Aufgabe checke ich nicht ganz.

Meine Ideen:
Zu der a hätte ich geschrieben , dass es sich um eine Drehung handelt , da die Abbildung mit einem bestimmten Drehwinkel Alpha g1 so dreht , dass sie identisch mit g2 ist und der Schnittpunkt der beiden geraden bleibt ja logischerweise auch gleich, weil sie dann identisch sind. Den Drehwinkel könnte man dann mit der Drehmatrix auch berechnen.
Soweit so gut
Die b kriege ich aber leider nicht hin, da ich solch eine Aufgabe noch nicht hatte in der Form. Gilt als klausurvorbereitung. Wie würdet ihr die b machen ? Lg

03.09.2020, 09:27

Leopold

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Du solltest dir unbedingt eine Zeichnung machen. Dann dürfte dir auffallen, daß die drei Geraden besondere Lagen zueinander haben, was sich natürlich auch rechnerisch nachweisen läßt. Dann beachte den Satz:

Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen an nichtparallelen Geraden ist eine Drehung. Das Drehzentrum ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, der Drehwinkel doppelt so groß wie der Winkel zwischen den Geraden.

03.09.2020, 11:19

Avamo

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Danke für die bisherige Hilfe smile

Aber was soll bei der b die Abbildung machen?
Ich hätte jetzt die affine Abbildung von Sg3 bestimmt , habe ich auch getan,
Aber wie bestimme ich dann g4?
Soll die Abbildung phi bei der b g3 spiegeln , dass es wieder identisch mit g4 ist?
Habe jetzt nur für g3 dir affine Abbildung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0& -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

03.09.2020, 12:35

Leopold

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Hast du dir wirklich eine Zeichnung gemacht? Dann müßte dir aufgefallen sein, daß $\begin{align*} g_2 = g_3 \end{align*}$ gilt und $\begin{align*} g_1 \bot g_2 \end{align*}$ ist.

Wenn du also $\begin{align*} g_1 \end{align*}$ mit 90° (gegen den Uhrzeigersinn) um $\begin{align*} S \end{align*}$ drehst, erhältst du $\begin{align*} g_2 \end{align*}$ . Diese Drehung ist dein $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ .

Und was für ein Glück, daß wegen $\begin{align*} g_3 = g_2 \end{align*}$ auch $\begin{align*} g_3 \end{align*}$ durch $\begin{align*} S \end{align*}$ geht. Nach dem Satz aus meinem vorigen Beitrag mußt du jetzt die Gerade $\begin{align*} g_4 \end{align*}$ so durch $\begin{align*} S \end{align*}$ legen, daß sie aus $\begin{align*} g_3 \end{align*}$ mit einer 45°-Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) um $\begin{align*} S \end{align*}$ hervorgeht, dann gilt

$\begin{align*} S_{g_4} \circ S_{g_3} = \varphi \end{align*}$

Ich habe das rein zeichnerisch herausbekommen. Du sollst übrigens gar keine affine Abbildung angeben, sondern die Gerade $\begin{align*} g_4 \end{align*}$ . Das ist die Aufgabe.

03.09.2020, 19:38

Avamo

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Dankeschön smile

hab es verstanden.
Man kann das durch eine gerade g4 ersetzen, die durch den Schnittpunkt geht, also den Schnittpunkt der Geraden als Stützvektor hat.
Phi dreht die Gerade um 45 Grad , so dass sie in die andere übergeht und identisch ist.
Danke smile

03.09.2020, 20:11

Leopold

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Zitat:

Original von Avamo
Dankeschön smile

hab es verstanden.

Leider habe ich nicht verstanden, was du mit deinen Worten mitteilen willst. Mir klingt das eher danach, daß du das völlig mißverstanden hast. verwirrt

Warum gibst du nicht einfach die Geradengleichung für $\begin{align*} g_4 \end{align*}$ an und redest um den heißen Brei herum?

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