Heißluftballon

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Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »
Heißluftballon
Hallo miteinander

Aus einem 1,6 km über der Erde schwebendem Heißluftballon können zwei Personen das Zentrum ihrer Dörfer erkennen. Um Zentrum A zu sehen, müssen sie ihren Geradeausblick um 10° nach unten senken. Zentrum B lässt sich in einem Winkel von 9° anvisieren. Vom Erdboden aus gesehen, stehen die beiden Zentren in einem Winkel von 56°. Wie weit sind die Dorfzentren voneinander entfernt? Runde auf eine Nachkommastelle.

[attach]51855[/attach]

Wie geht man da vor?
Mir ist klar, wie ich die Winkel und Seiten der blauen Dreiecke berechnen kann. Aber wie weiter?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Längen a und b vom Höhenfußpunkt nach A und B lassen sich leicht aus den beiden rechtwinkeligen Dreiecken berechnen.



Die Entfernung c der beiden Dörfer mittels des Cosinus-Satzes (SWS)!



mY+
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Ohne den Cosinussatz (also nur mit rechtwinkligen Dreiecken) und den klassischen trigonometrischen Funktionen geht es also nicht?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, kann man.
Der Cosinussatz resultiert nämlich aus Berechnungen in rechtwinkeligen Dreiecken.
Jedoch, um nicht jedes Mal das Rad neu erfinden zu müssen, wurde dieser Satz abgeleitet.
-----
Im Internet gibt es mehr als eine (mühsame) Ableitung für den Cos-Satz.
Am einfachsten geht es über die Anwendung des Pythagoras in 2 rechwinkeligen Dreiecken, die durch eine Höhe entstehen.

Die Höhe teilt die Seite c in die Abschnitte und , damit ist





Mit kommt schließlich



Das ist es.

mY+
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah super, vielen Dank! smile
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch noch eine Frage:

Du schreibst:

Aber wäre es nicht ?
Und woher weisst du, dass Alpha = 56° ? 56° ist doch der Winkel beim Höhenfusspunkt (oberer Punkt im gelben Dreieck), oder nicht?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas007
..
Du schreibst:

Aber wäre es nicht ?
...

ist der bei A liegende Abschnitt der Seite c und bei A befindet sich auch der Winkel . Daher ist



Zitat:
Original von Thomas007
...
Und woher weisst du, dass Alpha = 56° ? 56° ist doch der Winkel beim Höhenfusspunkt (oberer Punkt im gelben Dreieck), oder nicht?

Daher:

Zitat:
Vom Erdboden aus gesehen, stehen die beiden Zentren in einem Winkel von 56°

Das gelbe Dreieck liegt in der Horizontalebene, und damit auch der Fußpunkt der Höhe. Der Winkel dort ist unverzerrt, gleich 56°.
Anders wäre es, würde der Winkel vom Ballon aus gemessen (was durchaus auch möglich wäre).
Dann müssten zuerst die Längen der Visierlinien vom Ballon aus zu den Dörfern A und B und daraus die Distanz AB berechnet werden.

mY+
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus den Musterlösungen (mit anderen Werten und leider ohne Berechnungen) habe ich folgende Skizze:

[attach]51861[/attach]

Das würde eher für deine zweite Interpretation sprechen, oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
(Es wäre gut, wenn du eine eindeutige Angabe stellen könntest)

Der Winkel - jetzt 57° - ist, wie auch im Text ausdrücklich vermerkt, am Erdboden gemessen (.. "vom Erdboden aus gesehen" .. )!!

Mit den Tiefenwinkeln 10° und 11° (anstatt 10° und 9°) und der Höhe 2000 m (anstatt 1600 m) ist der Rechengang analog, nur eben mit anderen Werten:



Die Tiefenwinkel können als gleiche Winkel auch als Erhebungswinkel (Höhenwinkel) von A und B aus zu dem Ballon hin gezeichnet werden.

mY+
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