Isomorphismen

04.09.2020, 14:22	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismen Meine Frage: Ist eine bijektive lineare Abbildung immer ein Isomorphismus? Meine Ideen: Also bei Abbildungen in endlichdimensionalen Vektorräumen müsste es doch aus Dimensionsgründen und der Eindeutigkeit einer Abbildung immer eine inverse Abbildung und somit einen Isomorphismus geben oder? Gilt dies auch für unendlich dimensionale Vektorräume? Was ist wenn die Abbildung nicht linear ist?
04.09.2020, 14:48	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Isomorphismen zwischen Vektorräumen sind genau die bijektiven lineare Abbildungen. Allgemein ist ein Isomorphismus $\begin{eqnarray} f : A \to B \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus, sodass ein Homomomorphismus $\begin{eqnarray} g: B \to A \end{eqnarray}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray} f \circ g = \mathrm{id}_B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \circ f = \mathrm{id}_A \end{eqnarray}$ . Man kann elementar zeigen, dass die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung automatisch linear ist. Es ist aber nicht für alle Arten von Strukturen so, dass bijektive Homomorphismen Isomorphismen sind. Zum Beispiel muss die Inverse einer stetigen Bijektion zwischen topologischen Räumen nicht selbst stetig sein.
04.09.2020, 14:51	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht Sinn. Vielen Dank!

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