Gumbel-Verteilung

04.09.2020, 20:42	mx21	Auf diesen Beitrag antworten »
Gumbel-Verteilung Meine Frage: Hallo alle zusammen, ich habe die Aufgabe (siehe Bild) versucht zu lösen. Leider bin ich mir nicht ganz sicher und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Zur Gumbel Verteilung: Die Verteilungsfunktion ist gegeben durch $\begin{eqnarray} H(x)=e^{-e^{-x}} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Zu b1) $\begin{eqnarray} H(x-log(n) )= e^{ -e^{-x+log(n)}}= e^{-e^{-x}n}= (e^{-e^{-x}})^{n}= H(x)^{n} \end{eqnarray}$ passt das erstmal so ? Zu b2) Da $\begin{eqnarray} (X_{k})_{k\in N} \end{eqnarray}$ Gumbel verteilt ist gibt es folgen dn und cn mit(....) Es gilt $\begin{eqnarray} P\left(\frac{ max\{X_1,...,X_n\}-d_n}{c_n}<=x \right) = P\left( max\{\frac{X_1-d_n}{c_n} ,...,\frac{X_n-d_n}{c_n}\}<=x \right) =P\left(\frac{X_1-d_n}{c_n}<=x,...,\frac{X_n-d_n}{c_n} <=x\right) \end{eqnarray}$ , da die X identisch verteilt sind und unabhängig sind gilt $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^{n} P\left(\frac{X_k-d_n}{c_n}<=x\right)= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^{n} H(xc_n+d_n) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} ( H(xc_n+d_n))^{n}= H(xc_n+d_n-log(n) ) \end{eqnarray}$ passt das so und ist das der richtige Ansatz?
05.09.2020, 08:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu einer Verteilungsfunktion Das passt. Allerdings sollte man noch konkret die $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_n \end{eqnarray}$ angeben, für die sich wieder die Ausgangsverteilung ergibt. Etwas kürzer wird der zweite Teil, wenn man mit $\begin{eqnarray} Y:= max\{X_1,...,X_n\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_Y(x)=H^n(x) \end{eqnarray}$ beginnt. Die Verteilungsfunktion des Maximums einer Menge identisch und unabhängig verteilter Zufallsgrößen darfst du sicher als bekannt voraussetzen.
05.09.2020, 12:38	mx21	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu einer Verteilungsfunktion Vielen Dank für die Antwort Huggy. Ich werde b2) anpassen.

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