Winkelfunktion: Tageslängen berechnen

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IvaDenis Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelfunktion: Tageslängen berechnen
Meine Frage:
Aufgabe:

In der Tabelle sind die Tageslängen in Wien aus dem Jahr 2014 zu verschiedenen Zeiten dargestellt.
Datum Tage seit Jahresbeginn Tageslänge in Stunden
21.1. 21 9
21.3 80 12,2
21.12 355 8,3

Die Funktion L mit L(t)= 3,875*sin((2*pi)/365)*(t-80)+12,21 modelliert die Tageslängen in Stunden. Die Variable t gibt die Anzahl der vergangenen Tage seit Jahresbeginn an.

a) Berechne die Tageslängen am 21.1., 21.3. und 21.12. mit Hilfe der Funktion L(t). Vergleiche deine Ergebnisse mit den Daten in der Tabelle.

b) Verwende die Eigenschaften der Sinusfunktion und berechne damit, an welchem Datum die Tageslänge am größten ist. Gib auch die Tageslängen an.

c) Die Tage, an denen der Tag und die Nacht gleich lang sind, nennt man Äquinoktien. Berechne die beiden Tage laut diesem Modell.





Meine Ideen:
Mein Ansatz: Taschenrechner auf Radiant umstellen

a)Leicht: Nur werte Einsetzen: L(21)=8,92?9, L(80)=12,21?12,2, L(355)=8,34?8,3

b) Wenn wir im Sinus-Teil 80 einsetzen erhalten wir 0--> 80 Tage = Nullstelle
Nullstelle + pi/2 um auf den Maximumwert zu kommen.

Wir teilen unseren Kreis durch 4: 365/4 = 91,25 --> ?/2

80+91,25 = 170,25° --> 170er Tag ist der 19 Juni. Da aber durch 0,25 der nächste Tag beginnt, ist das Ergebnis der 20 Juni.
--> Eingesetzt in die Formel: 16,08 Stunden

c)
Tag und Nacht sind gleich lang als je 12h

12 = 3,875*sin((2*?)/365)*(t-80)+12,21 --> umgeformt kommt 76,85 --> 18 März

Mein Ansatz:

Ich dachte zuerst einfach 76,85 + 182,5 (wegen 91,25=pi/2 *2).
Kommt aber 13,86 heraus .. das stimmt nicht laut Lösungsbuch.

Ich weiß dass: sin(76,85) = 0,992 -> 1 ist.

Also dachte ich: sin(-76,85) = -0,992 -> 1 --> Geht aber nicht aufgrund der Verteilung der verschiedenen Tage im Jahr.

Egal was ich hier versuche: Ich komme nicht auf das richtige zweite Ergebnis.
Es soll der 23. September laut Lösungsbuch sein.

Das wir den "Jahreskreis" aufgrund der Monate nicht gleichmäßig durch 4 teilen können (Februar, Juli, August), weiß ich nicht wie ich auf den zweiten Tag komme. Muss ich alles genau zählen?...aber das kann doch nicht sein, es muss doch eine einfachere Methode geben?


Kann mir hier bitte jemand einen Lösungsweg zeigen. Ich sitze seit 3 Tagen daran.

LG
IvaDenis
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelfunktion: Tageslängen berechnen
Willkommen im Matheboard!

Vielleicht hilft diese Skizze:



Erkennst Du die Symmetrie?

Viele Grüße
Steffen
Iva83 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelfunktion: Tageslängen berechnen
Aber welche Rechnung muss ich aufstellen? Ich bekomme nicht das richtige Ergebnis.

Die Symmetrie erkenne ich. Aber ich bekomme einfach nicht die Tage für den 23. September.

LG

IvaDenis
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelfunktion: Tageslängen berechnen
Das liegt wohl an diesem kleinen Rechenfehler:

Zitat:
80+91,25 = 170,25


Ansonsten bist Du nun zweimal angemeldet, IvaDenis wird daher demnächst gelöscht.
Iva83 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelfunktion: Tageslängen berechnen
Nutze ich für die Symmetrie: sin(−x)=−sin(x), dann bekomme ich für die Formel wenn ich für t= -76,85 verwende:

L(t)= 3,875*sin((2*pi)/365)*(76,85-80))+12,21= 11,999=12

L(t)= 3,875*(-sin((2*pi)/365)*(76,85-80)))+12,21= 12,42


Ich bin mit meinem Latein am Ende.

Kann mir das jemand Anhand einer Rechnung zeigen?


LG
Iva83
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelfunktion: Tageslängen berechnen
Die Symmetrie, die ich Dir mit meiner Skizze zeigen wollte, bezieht sich darauf, dass die Werte links und rechts vom Maximum identisch sind. Als Formel also:



Oder prosaisch: vom Sommeranfang zum Frühlingsäquinoktium ist es dieselbe zeitliche Distanz wie bis zum Herbstäquinoktium.

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