Basis für Polynomraum bestimmen

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pukka Auf diesen Beitrag antworten »
Basis für Polynomraum bestimmen
Hallo zusammen,

konnte in der Suche keine ähnliche Aufgabe finden. (Ich bereite mich gerade für eine Klausur vor und stecke mit dieser Aufgabe fest. Ich suche also letzten Endes eine Lösung dafür, ob ich selbst drauf komme oder nicht.) Zur Aufgabe:

"Sei [x] der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten aus vom Grad höchstens 3. Zeigen Sie, dass ein Untervektorraum ist und geben Sie eine Basis davon an."
P'' soll hierbei die zweite Ableitung sein.

Dass es sich um einen Untervektorraum handelt, habe ich, denke ich, schon gezeigt, indem ich argumentiert habe, dass die beschriebene Menge Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens 3 enthält (ergo Teilmenge), dass das Nullpolynom enthalten ist (ergo nicht-leere Teilmenge) und dass die Menge unter der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen ist. Vermutlich formal etwas unschön, aber sollte passen.

Probleme bereitet mir, eine Basis des Untervektorraums zu finden.
Die Basis muss ja im Untervektorraum drin liegen, sonst könnte ich einfach als Basis wählen. Aber ich komme einfach nicht auf alle vier (nehme ich an) Basisvektoren.
Wie bestimmt man diese am besten?

Mir fällt nur der Basisvektor ein.

Danke im Voraus!

Liebe Grüße
pukka
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Setze die Gleichung des UVR für ein Polynom 3.Grades allgemein an, und berechne was das für die Koeffizienten bedeutet.
pukka Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

das habe ich bereits versucht und bin nach ein paar Umformungen bei folgender Gleichung gelandet:

Ich dachte mir, dass man das als homogenes lineares Gleichungssystem aufschreiben und lösen könnte, wobei man die x-Potenzen einfach als Variablen betrachtet.
Dann hätte man also
( -4a 4b c d | 0 ).
Das müsste doch jetzt heißen, dass wir eine Spalte mit Pivotelement haben (die erste) und dass wir, um die Lösungsmenge zu bestimmen drei freie Parameter festzulegen haben. Allerdings ist die Reihenfolge der Spalten dabei ja willkürlich und ich könnte also verschiedene Spalten als "Pivotspalten" festlegen.
Ich hab das nun so gelernt, dass man, um die Basis des Kerns einer linearen Abbildung zu bestimmen, einen der freien Parameter auf 1 und die anderen freien Parameter auf 0 setzt. Das liefert mir nun aber recht viele Lösungen.
Mit d=1, c=b=0 komme ich z.B. darauf, dass a = 1/4 ist. Das würde heißen, dass ein Polynom, das die Gleichung löst, das folgende ist:



Aber das passt nicht zur in der Aufgabenstellung vorgegebenen Menge.

Wahrscheinlich verzettel ich mich gerade ein wenig...
Falls mir jemand sagen kann, ob ich auf dem richtigen Weg bin, wär das super.
Eigentlich sollte die Aufgabe einfach sein (wenn man betrachtet, wie wenig Punkte es dafür in einer Altklausur gab).

Danke nochmals. Ich schaue heute Abend oder morgen wieder rein.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich etwas anderes heraus. Aus folgt mit dem Ansatz



die Relation



Durch Koeffizientenvergleich kann man die Werte für ablesen, denn links steht ein Polynom höchstens vom Grad 3 und rechts das Nullpolynom. Was heißt das nun? (Deine Überlegungen dazu aus deinem Beitrag sind völlig falsch. Du kannst keinesfalls die Werte für beliebig wählen. Vielmehr sind sie gerade durch die obige Beziehung eindeutig bestimmt.)

Es irritiert, wenn du am Anfang für die Variable schreibst und dann auf einmal daraus wird. Da sollte man bei einer Variante bleiben.
pukka Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

ja, sorry. Die großen X kommen von der Aufgabenstellung, während ich selbst die kleinen x (und kleines p) bevorzuge. Ich versuche, beim nächsten Mal konsistent zu sein.

Ich hatte eine Klammer vergessen und komme auch auf dein Ergebnis.
Koeffizientenvergleich kenne/kann ich kaum, aber da es sich um einen Vergleich mit dem Nullpolynom handelt, muss sicherlich einfach gelten, dass .

Somit kann ich mein allgemeines Polynom p, das den Untervektorraum bildet, wohl als schreiben. Um eine Basis zu bilden, kann ich z.B. wählen und erhalte den Basisvektor, den ich ohnehin schon durch Ausprobieren gefunden hatte, nämlich . Alle anderen Wahlen für b würden ja nur von linear abhängige Vektoren liefern, sodass die Basis offenbar nur von diesem einen Basisvektor gebildet wird. Ist das korrekt?

Danke und liebe Grüße
pukka
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pukka
Koeffizientenvergleich kenne/kann ich kaum, aber da es sich um einen Vergleich mit dem Nullpolynom handelt, muss sicherlich einfach gelten, dass .


Für Polynome gilt: Sind zwei Polynome (als Polynome) gleich, so müssen sie gliedweise in den Koeffizienten übereinstimmen. Man darf daher immer einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Du hast das sehr schön bearbeitet. Deswegen will ich jetzt einmal überpingelig sein, damit auch noch der letzte Schliff hineinkommt.

An dieser Stelle

Zitat:
Original von pukka
Alle anderen Wahlen für b würden ja nur von linear abhängige Vektoren liefern, sodass die Basis offenbar nur von diesem einen Basisvektor gebildet wird. Ist das korrekt?


meinst du das Richtige, sagst es aber falsch. Denn natürlich ist nicht der einzig mögliche Basisvektor für den gegebenen Unterraum. Eine Basis wird zum Beispiel auch durch gebildet. Überlege einmal, wie man den Satz formulieren müßte, damit er genau das sagt, was du sagen willst.
 
 
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