Geschlossenen Ausdruck für Summe (2k-1)² durch Polynom darstellen

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IdiotByInduction Auf diesen Beitrag antworten »
Geschlossenen Ausdruck für Summe (2k-1)² durch Polynom darstellen
Moin allerseits smile

Problemstellung
Finden Sie einen geschlossenen Ausdruck für die Summe und beweisen Sie ihn mittels Induktion. Hinweis: Verwenden Sie ein angemessenes Polynom als Ansatz.

Meine Lösung
, , etc...

Ich habe auf gut Glück ein Polynom zweiten Grades gewählt (weil lauter Quadrate vorkommen), . Mit den gegebenen Funktionswerten lässt sich ein LSG aufstellen:


aus dem sich das Polynom ergibt. Nach meinem Verständnis der Induktion würde man gemäss der obigen Definition der Summenbildung feststellen, dass gelten muss und schliessen, da für gilt, dass die geschlossene Formel auch für gelten muss und damit auch für usw. (). Damit gilt das Polynom für alle .

unglücklich Leider stimmt jedoch meine Lösung überhaupt nicht. Bereits mit gilt .

Musterlösung

"Da über Quadrate summiert wird, ist es naheliegend zu vermuten, dass durch ein Polynom 3-ten Grades in dargestellt wird [...] [...]." Schlussendlich kommt man durch die Lösung eines LGS auf die geschlossene Formel und beweist diese per Induktion , q.e.d.

Meine Fagen
1) Warum ist es aufgrrund der Funktionswerte "naheliegend" ein Polynom 3-ten Grades zu wählen?
2) Warum funktioniert mein Ansatz nur für ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geschlossenen Ausdruck für Summe (2k-1)² durch Polynom darstellen
Zitat:
Original von IdiotByInduction
Ich habe auf gut Glück ein Polynom zweiten Grades gewählt (weil lauter Quadrate vorkommen), .


Vielleicht kennst du die Formeln





Welche Grade haben die Ausdrücke rechts? Dann überleg noch mal deinen Ansatz.
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