Sin(2x) + Cos^2 (X) = 2

08.09.2020, 19:05	Robi23	Auf diesen Beitrag antworten »
Sin(2x) + Cos^2 (X) = 2 Hey Leute ich bin beim üben auf die aufgabe Sin(2x) + Cos^2 (X) = 2 gestolpert. ich hab die lösungen nur halt ohne rechenweg. mathe-physik-aufgaben.de/aufgaben/GM_AU006.pdf ( Nr. 42 ) wenn mir einer das erklären könnte wäre das supper mit freundlichen grüßen Robi
08.09.2020, 19:16	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sin(2x) + Cos^2 (X) = 2 3sin 2x - cos x= 2 Auflösen
08.09.2020, 20:33	Robi23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sin(2x) + Cos^2 (X) = 2 wie bist du denn auf die 3sin 2x - cos x= 20 gekommen ?
08.09.2020, 21:32	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sin(2x) + Cos^2 (X) = 2 Das war ein Link auf Deinen anderen Thread, in dem Dir bereits ausführlich gezeigt wurde, wie man solche Aufgaben mit Substitution löst. Kommst Du nun weiter? Viele Grüße Steffen
09.09.2020, 09:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier wäre vielleicht zu empfehlen, in beiden Argumenten auf $\begin{align} 2x \end{align}$ zu gehen. Das kann mit $\begin{align} \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 \end{align}$ erreicht werden, indem man nach $\begin{align} 2 \cos^2(x) \end{align}$ auflöst. Eine Linearkombination von Sinus und Cosinus mit gleichem Argument kann man aber bekanntermaßen als verschobenen Sinus darstellen: $\begin{align} A \sin(2x) + B \cos(2x) = R \sin \left( 2x + c \right) \end{align}$ Im speziellen Fall der Aufgabe ist die Situation besonders einfach, und man kann Lösungen erraten, so daß man den letzten Schritt nicht braucht. Offen bleibt dann allerdings die Frage, ob man alle Lösungen gefunden hat. (Ich beziehe mich hier auf die Originalaufgabe 42 aus deinem Link. Du hast hier eine andere angegeben.)
09.09.2020, 09:39	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch nett. Ich finde die Umwandlung nach dem anderen Küchenrezept zu $\begin{eqnarray} 2 \sqrt {1-\cos^2x} \cos x =2 - 2 \cos^2x \end{eqnarray}$ mit anschließendem Quadrieren und der Substitution $\begin{eqnarray} z=\cos^2 x \end{eqnarray}$ ebenfalls reizvoll.
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09.09.2020, 10:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim von mir vorgeschlagenen Verfahren kommt man ja zunächst auf $\begin{align} \sin(2x) + \cos(2x) = 1 \end{align}$ Nach Quadrieren und Anwendung des trigonometrischen Pythagoras folgt daraus: $\begin{align} \sin(2x) \cdot \cos(2x) = 0 \end{align}$ Das Nullprodukt läßt sich leicht behandeln. Man muß zum Schluß dann durch die Probe allerdings die Lösungen der Gleichung $\begin{align} \sin(2x) + \cos(2x) = -1 \end{align}$ noch aussondern (auch wenn man diese quadriert, erhält man das obige Nullprodukt). Das ist ja immer die Krux mit dem Quadrieren. Aber das ist bei der Küchenrezeptvariante nicht anders.
09.09.2020, 10:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Summe $\begin{eqnarray} \sin(2x) + \cos(2x) \end{eqnarray}$ als phasenverschobene Kosinusfunktion interpretiert ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) = \cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right) \end{eqnarray}$ mit Ergebnis $\begin{eqnarray} 2x-\frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2k\pi = \pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi \end{eqnarray}$ ohne Scheinlösungen. EDIT: Ah Ok, steht so ähnlich auch schon im Beitrag 9:24, sehe ich erst jetzt.

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