Teilbarkeit

09.09.2020, 14:24

Andrea 2020

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Teilbarkeit

Meine Frage:
Hallo Leute, ich benötige Ideen zur Lösung der folgenden Aufgabe:

"Man finde eine neunstellige natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft:
* Sie ist durch 2 teilbar, wenn man die zweite Ziffer von links streicht,
* durch 3 teilbar, wenn man die dritte Ziffer von links streicht,
* durch 4 teilbar, wenn man die vierte Ziffer von links streicht,
* durch 5 teilbar, wenn man die fünfte Ziffer von links streicht,
* durch 6 teilbar, wenn man die sechste Ziffer von links streicht,
* durch 7 teilbar, wenn man die siebte Ziffer von links streicht,
* durch 8 teilbar, wenn man die achte Ziffer von links streicht,
* durch 9 teilbar, wenn man die neunte Ziffer von links streicht."

Meine Ideen:
Wegen der geforderten Teilbarkeit durch 2, 4, und 5 muss die gesuchte Zahl auch durch 20 teilbar sein.
Also ihre beiden Endziffern 20, 40, 60, 80 oder ihre letzten drei Endziffern 200, 400, 600 oder 800 sein (oder eben die letzten vier Endziffern auf 1000, 2000 usw.).
Ich habe auch schon viele Zahlen gefunden, welche die gestellte Bedingungen erfüllen, so zum Bsp. die 100006020.
Meine Frage ist nun wie man die Menge der in Frage kommenden Lösungen weiter eingrenzen kann, damit man weniger probieren muss.

Danke Andrea.

09.09.2020, 15:29

Steffen Bühler

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RE: Teilbarkeit
Willkommen im Matheboard!

Man kann bestimmt etwas weiter eingrenzen, etwa mit der Quersummenregel für 3 und 9. Dennoch findet mein Brute-Force-Programm insgesamt 28573 solche neunstelligen Zahlen. Vielleicht sollst Du ja nur eine einzige von denen finden, dann wäre die Aufgabe schon erledigt.

Viele Grüße
Steffen

09.09.2020, 15:37

Andrea 2021

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RE: Teilbarkeit
Ich danke dir Steffen !

Ja, das es eine Menge solcher Zahlen gibt, war mir bekannt.

Das mit dem Eingrenzen über die Quersumme hatte ich mir auch überlegt, aber das wird eben schwierig, weil immer eine Stelle in der Zahl fehlt.

Vielleicht hat ja noch jemand eine Idee?

Totzdem danke ...

Andrea

09.09.2020, 15:46

IfindU

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RE: Teilbarkeit
Ein weiterer Schritt. Sei die gesuchte Zahl $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^9 a_i 10^{9-i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \in \{0, \ldots, 9\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Zahl von links. Dann folgt aus der durch 3er Teilbarkeit, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1, i \neq 3}^9 a_i \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$ . Aus der durch 9er Teilbarkeit, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1 i \neq 9}^9 a_i \equiv 0 \mod 9 \end{eqnarray*}$ . Insb. natürlich $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1}^8 a_i \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$ .

Die Diffferenz zwischen der 3er und 9er Teilbarkeit liefert also die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} a_3 \equiv a_9 \mod 3 \end{eqnarray*}$ . Da wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a_9 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, folgt also $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ . Die dritte Zahl muss also zwingend durch 3 teilbar sein.

09.09.2020, 15:53

Andrea 2021

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Hallo Ifindu,

ja auch das kann ich nachvollziehen, oder die dritte Ziffer muss eben Null sein, aber Null ist ja auch durch 3 teilbar ;-).

Danke Andrea

09.09.2020, 16:46

Steffen Bühler

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Ich hab mal meine Tabelle durchgeschaut, und dieselbe Eigenschaft scheint wohl auch für die sechste Ziffer zu gelten. Herleiten kann ich das aber nicht.

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09.09.2020, 16:49

IfindU

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@Steffen: Gutes Auge Freude

Freude

Der Beweis geht analog zu meinem Beweis zuvor. Man bekommt dann $\begin{eqnarray*} a_6 \equiv a_9 \mod 3 \end{eqnarray*}$ und damit wieder $\begin{eqnarray*} 3 | a_6 \end{eqnarray*}$ .

09.09.2020, 16:49

Andrea 2021

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Hallo Infindu,

hast du dich bei deiner Summenformel oben, evtl. um eine Stelle vertan?

Muss es nicht bei ai hoch 10 - i heißen?

Die gesuchte Zahl ist doch neunstellig.

Andrea

09.09.2020, 16:54

IfindU

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$\begin{eqnarray*} 10^1 = 10 \end{eqnarray*}$ ist zweistellig, $\begin{eqnarray*} 10^2 = 100 \end{eqnarray*}$ ist dreistellig und $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ -stellig. Damit ist dann $\begin{eqnarray*} 10^{9-1} = 10^8 \end{eqnarray*}$ eine 9-stellige Zahl.

Man muss da aber wirklich aufpassen.

09.09.2020, 17:13

Andrea 2021

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Ja das stimmt natürlich, nochmals danke ...

Andrea

10.09.2020, 10:59

Andrea 2022

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Guten Morgen, vielleicht hat ja noch jemand eine Idee ??

Andrea.

10.09.2020, 14:51

Steffen Bühler

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Ich fürchte, mehr geht nicht. Immerhin hast Du mit den gefundenen Regeln aber schon mal nur noch vier Promille der Prüfungen durchzuführen.

10.09.2020, 15:50

HAL 9000

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Wenn man die bekannten Regeln für die Teilbarkeit von 5, dann 2,4,8 und schließlich 3 bzw. 9 benutzt, kommt man auf folgende "Strategie" zum Finden aller Lösungen $\begin{eqnarray*} abcdefghi \end{eqnarray*}$ :

1) $\begin{eqnarray*} hi \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \{00,20,40,60,80\} \end{eqnarray*}$ .
2) $\begin{eqnarray*} fg \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \{00,04,08,32,36,60,64,68,92,96\} \end{eqnarray*}$ .
3) $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ iaus $\begin{eqnarray*} \{0,3,6,9\} \end{eqnarray*}$ .
4) $\begin{eqnarray*} b,d,e \end{eqnarray*}$ werden frei gewählt
5) $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wird so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} a+\ldots+h \end{eqnarray*}$ durch 9 teilbar ist. Diese Festlegung ist eindeutig, denn der Fall a=0 kommt nicht vor, denn in diesem Fall wäre die Zahl nicht "echt" neunstellig.

Aufmerksam mitgezählt sind das $\begin{eqnarray*} 5\cdot 10\cdot 4\cdot 10^3 = 200000 \end{eqnarray*}$ Varianten. Es fehlt aber noch

6) Überprüfen, ob für die bisher gefundene Konfiguration $\begin{eqnarray*} abcdefh \end{eqnarray*}$ durch 7 teilbar ist.

Das ist nur in ca. 1/7 der Fälle der Fall, damit kommt man dann zu den 28573 Lösungen von Steffen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2020, 19:41

Silke 56

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Hallo HAL 9000,

kannst du mir bitte deine zweite Aussage

"2) fg aus {00,04,08,32,36,60,64,68,92,96}"

noch einmal erklären ?

Danke Silke.

10.09.2020, 20:33

Steffen Bühler

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RE: Teilbarkeit
Dass die sechste Ziffer durch 3 teilbar sein muss, wurde schon gesagt.
Und dann schreibst Du ja selbst:

Zitat:

Original von Andrea 2020
... oder ihre letzten drei Endziffern 200, 400, 600 oder 800 sein ....

Der Grund ist hier allerdings nicht die Teilbarkeit durch 20, sondern die durch 8, wenn die achte Ziffer getilgt wird. Da die neunte Ziffer zwingend 0 ist, muss die siebte gerade sein, denn Zahlen, die auf 10, 30, 50, 70 oder 90 enden, können kein Vielfaches von 8 sein.

10.09.2020, 21:05

HAL 9000

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Ja, so ist es: $\begin{eqnarray*} fgi = fg0 \end{eqnarray*}$ muss ja durch 8 teilbar sein, das ist gleichbedeutend damit, dass $\begin{eqnarray*} fg \end{eqnarray*}$ durch 4 teilbar ist. Und außerdem wissen wir ja $\begin{eqnarray*} f\in \{0,3,6,9\} \end{eqnarray*}$ , und das jeweils zugeordnete $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ darf nicht beliebig gerade sein, sondern muss die Teilbarkeit durch 4 des Gesamtausdrucks $\begin{eqnarray*} fg \end{eqnarray*}$ sichern - und da bleiben dann eben diese genannten 10 Kombinationen übrig.

13.09.2020, 12:14

CorinnaK

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RE: Teilbarkeit

Zitat:

Original von IfindU
Ein weiterer Schritt. Sei die gesuchte Zahl $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^9 a_i 10^{9-i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \in \{0, \ldots, 9\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Zahl von links. Dann folgt aus der durch 3er Teilbarkeit, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1, i \neq 3}^9 a_i \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$ . Aus der durch 9er Teilbarkeit, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1 i \neq 9}^9 a_i \equiv 0 \mod 9 \end{eqnarray*}$ . Insb. natürlich $\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1}^8 a_i \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$ .

Die Diffferenz zwischen der 3er und 9er Teilbarkeit liefert also die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} a_3 \equiv a_9 \mod 3 \end{eqnarray*}$ . Da wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a_9 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, folgt also $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ . Die dritte Zahl muss also zwingend durch 3 teilbar sein.

Hallo IfindU,

kannst du bitte auf den 2 Schritt deiner Herleitung noch einmal etwas näher eingehen.
Ich konnte den Schritt mit der Differenz noch nicht verstehen.

Danke.

13.09.2020, 15:09

IfindU

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RE: Teilbarkeit
Vielleicht hilft das: Wir können schreiben
$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1, i \neq 3}^9 a_i = -a_3 + \sum_{i = 1}^9 a_i \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1}^8 a_i = -a_9 +\sum_{i = 1}^9 a_i \end{eqnarray*}$ .

Die Differenz ist dann
$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1, i \neq 3}^9 a_i - \sum_{i = 1}^8 a_i = \Big( -a_3 + \sum_{i = 1}^9 a_i \Big) - \Big(-a_9 +\sum_{i = 1}^9 a_i \Big) = a_9 - a_3 \end{eqnarray*}$ .

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