Modifizierte, ungeordnete Zufallsauswahl ohne Zurücklegen

09.09.2020, 17:03

Superpippo

Modifizierte, ungeordnete Zufallsauswahl ohne Zurücklegen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

zunächst mein Beispiel: Meine Grundgesamtheit ist eine Urne mit 100 Kugeln. Die Kugeln haben die Farben rot (20 Kugeln), blau (10 Kugeln), gelb (30 Kugeln), grün (20 Kugeln), violett (15 Kugeln) und schwarz (5 Kugeln). Ich ziehe viermal, und nachdem ich eine Kugel gezogen habe, nehme ich alle Kugeln ihrer Farbe aus der Urne.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nun die Kugeln einer bestimmten Farbe unter den gezogenen Kugeln?

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass ich das für die o.g., niedrigen Zahlen noch "von Hand" berechnen kann. Gibt es aber eine allgemeingültige Formel, mit der ich auch mit sehr großen Zahlen rechnen kann, z.B. wenn wir über vierzigmaliges Ziehen aus 12,5 Mio. Kugel in 569 Farben mit unterschiedlichem Gewicht in der Grundgesamtheit sprechen?

Vielen Dank, viele Grüße
Superpippo

10.09.2020, 14:25

Dopap

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RE: Modifizierte, ungeordnete Zufallsauswahl ohne Zurücklegen

Zitat:

Original von Superpippo
Meine Frage:
[...] Ich ziehe viermal, und nachdem ich eine Kugel gezogen habe, nehme ich alle Kugeln ihrer Farbe aus der Urne.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nun die Kugeln einer bestimmten Farbe unter den gezogenen

d.h. 4 mal gilt : die jeweils gezogene Kugel entscheidet über das Verschwinden der Farbe.

10.09.2020, 14:59

Superpippo

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RE: Modifizierte, ungeordnete Zufallsauswahl ohne Zurücklegen
Ja, genau!

10.09.2020, 17:38

Huggy

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RE: Modifizierte, ungeordnete Zufallsauswahl ohne Zurücklegen

Zitat:

Original von Superpippo
Gibt es aber eine allgemeingültige Formel, mit der ich auch mit sehr großen Zahlen rechnen kann, z.B. wenn wir über vierzigmaliges Ziehen aus 12,5 Mio. Kugel in 569 Farben mit unterschiedlichem Gewicht in der Grundgesamtheit sprechen?Superpippo

Da würde ich zu einer Simulation raten.

11.09.2020, 08:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Superpippo
Gibt es aber eine allgemeingültige Formel

Die gibt es, aber sie enthält eine hässliche Summation, die dir vermutlich nicht gefallen wird:

Benennen wir mal die Farben in der von dir angegebenen Reihenfolge mit 1..5 in den Anzahlen $\begin{eqnarray*} n_1=20,n_2=10,n_3=30,n_4=15,n_5=5 \end{eqnarray*}$ , allgemein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Farben in den Anzahlen $\begin{eqnarray*} n_1,\ldots,n_m \end{eqnarray*}$ mit Gesamtanzahl $\begin{eqnarray*} n=\sum_{k=1}^m n_k \end{eqnarray*}$ (hier bei dir n=100).

Wenn nun $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ Kugeln auf die von dir beschriebene Weise entnommen werden, dann kann man das durch eine Auswahl von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ohne Zurücklegen aber mit Reihenfolge beschreiben, davon gibt es $\begin{eqnarray*} \frac{m!}{(m-r)!} \end{eqnarray*}$ Pfade. Die von mir angedrohte Summation erfolgt nun über eine Teilauswahl diese Pfade, nämlich diejenigen Pfade $\begin{eqnarray*} \pi=(\pi_1,\ldots,\pi_r) \end{eqnarray*}$ , so dass es ein $\begin{eqnarray*} \pi_k \end{eqnarray*}$ mit der gewünschten Farbe gibt - die Anzahl dieser Pfade ist $\begin{eqnarray*} r\frac{(m-1)!}{(m-r)!} \end{eqnarray*}$ , das sind im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} m=5,r=4 \end{eqnarray*}$ dann 96 Pfade.

Die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen bestimmten Pfad $\begin{eqnarray*} \pi=(\pi_1,\ldots,\pi_r) \end{eqnarray*}$ ist nun einfach bestimmbar: $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^r \frac{n_{\pi_k}}{n-\displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} n_{\pi_j}} \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} m < 2r \end{eqnarray*}$ (was z.B. in deinem Beispiel der Fall ist) erscheint es günstiger, die Komplementärwahrscheinlichkeit zu berechnen. D.h., da summiert man zunächst über die Pfade, die NICHT die gewünschte Farbe aufweisen: Deren Anzahl $\begin{eqnarray*} \frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} \end{eqnarray*}$ ist dann kleiner als das obige $\begin{eqnarray*} r\frac{(m-1)!}{(m-r)!} \end{eqnarray*}$ . Im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} m=5,r=4 \end{eqnarray*}$ sind das dann "nur" noch 24 Pfade.

Was das "große" Beispiel betrifft, da würde ich dann auch zu Huggys Meinung "Simulation" tendieren: Denn eine Summation über $\begin{eqnarray*} 40\frac{568!}{529!}\approx 2.8\cdot 10^{108} \end{eqnarray*}$ Pfade dauert ein wenig zu lang...

17.09.2020, 15:02

Superpippo

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Danke!

Das ist schon mal hilfreich, auch wenn ich von Simulationen gar keine Ahnung habe...

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