Operatornorm

11.09.2020, 14:50	gast1231132	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatornorm Ich habe die beiden normierten Räume $\begin{eqnarray} (X_1,\\|\\|_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (X_2,\\|\\|_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in X_2 \end{eqnarray}$ Weiters die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi:X_1^{'} \to L_c(X_1,X_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi(f):=(x_1\mapsto f(x_1)y) \end{eqnarray}$ Wie berechnet man von sowas die Operatornorm? Bei "normalen" Funktionen ist es mir klar, aber die Funktion verwirrt mich etwas... Danke!
11.09.2020, 21:54	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operatornorm Hallo, ich hoffe, dass ich alle Symbole richtig verstanden habe. Sei also $\begin{eqnarray} L:=\phi (f) \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \frac{\left\\|Lx\right\\|}{\left\\|x\right\\|} = \frac{\left\\|f(x)y\right\\|}{\left\\|x\right\\|}=\frac{\|f(x)\|}{\left\\|x\right\\|} \\|y\\| \end{eqnarray}$ Geht man zum Supremum über x über, erhält man: $\begin{eqnarray} \\|L\\|=\\|f\\|\\|y\\| \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \\|\phi\\|=\\|y\\|. \end{eqnarray}$ Gruß pwm

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