Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E: den Abstand 3 haben (Hessesche Normalenform)

12.09.2020, 16:41

Peter0308

Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E: den Abstand 3 haben (Hessesche Normalenform)

Meine Frage:

1) Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E:x=(2/-1/4)+r*(1/0/-2)+s*(2/1/1) den Abstand 3 haben.

2) Gegeben sind die Ebene E: 2x1+x2+2x3+20=0 und die Gerade g:x=(11/-7/5)+k*(3/-1/5). Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte auf g, deren Abstand von der Ebene 5 beträgt.

Meine Ideen:

Ich weiß, dass ich wahrscheinlich die Hessesche Normalenform nutzen muss. Ich weiß aber nicht genau, wie ich welche Werte einsetzen muss.

12.09.2020, 18:45

klauss

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RE: Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E: den Abstand 3 haben (Hessesche Normalenform)
1) Die Punkte liegen auf zwei zu E im Abstand 3 parallelen Ebenen. Das wäre im Prinzip die Antwort. Von der Aufstellung der zwei parallelen Ebenengleichungen war noch nicht die Rede.

2) Die x1-, x2-, x3-Komponenten von g sind in die Hessesche Normalenform von E einzusetzen. Es ergibt sich eine Betragsgleichung in Abhängigkeit von k. Das Ergebnis soll 5 sein.

13.09.2020, 00:35

mYthos

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RE: Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E: den Abstand 3 haben (Hessesche Normalenform)

Zitat:

Original von klauss
...
Von der Aufstellung der zwei parallelen Ebenengleichungen war noch nicht die Rede.
...

Ich denke, doch, ansonsten wäre die Aufgabe wohl zu "billig".

Bringe die Ebene E mittels Multiplikation mit dem Normalvektor (oder Elimination der Parameter r, s) auf die Koordinatengleichung (Normalvektorform):

$\begin{eqnarray*} X \cdot (.. | .. | .. |) - c = 0 \end{eqnarray*}$ (Die Koordinaten des Normalvektors und die Konstante c solltest du selbst berechnen können.

Dannach dividierst du die (auf 0 gebrachte (!)) Gleichung durch den Betrag des Normalvektors und setzst diese $\begin{eqnarray*} \pm 3 \end{eqnarray*}$ , damit erhältst du die beiden Ebenen in Koordinatenform.

mY+

13.09.2020, 01:14

klauss

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RE: Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E: den Abstand 3 haben (Hessesche Normalenform)
Na gut, alternativ könnte man die 2 Ebenengleichungen auch in Parameterform angeben. Dazu bräuchten wir nur 2 neue Aufpunkte, denn die Richtungsvektoren der parallelen Ebenen sind identisch mit denen von E.

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor von E. Dann erhält man die beiden neuen Aufpunkte durch
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \pm \frac{3}{| \vec{n} | } \vec{n} \end{eqnarray*}$

Ästhetischer Nachteil dieser Methode: Die Koordinaten der neuen Aufpunkte sind nicht "schön".

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