Diagonalisierung eine Matrix |
| 12.09.2020, 17:28 | Horner | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Diagonalisierung eine Matrix Guten Tag, habe heute LinA II geschrieben und eine Aufgabe geht mir nicht aus dem Kopf. Gegeben war eine 4x4 Matrix über dem Körper IR^(4x4). Das charakteristische Polynom der Matrix war: P_A(x) = (x-1)*(x+1)*(x^2+6x+17) Die Aufgabe lautete: a) Zeigen Sie, dass x_1 = 1, x_2 = -1 die einzigen Eigenwerte von A sind. b) Konstruieren Sie eine Matrix S^(-1) mit D = S*A*S^(-1) sodass D Diagonalform hat. Meine Ideen: a) Habe argumentier: P_A(x) = 0 => Wegen den beiden ersten Klammern gilt x_1 = 1 und x_2 = -1 sind die eizigen Eigenwerte von A, denn x^2+6x+17 = 0 hat keine reellen Nullstellen und wir sind ja in IR. b) Hab argumentiert: Da P_A(x) über IR nicht in Linearfaktoren zerfällt, folgt, dass A über IR nicht diagonalisierbar ist. Also existiert keine Matrix S^(-1) aus IR. Ist das korrekt so? Oder kann man bei einer nicht-diagonalisierbaren Matrix trotzdem eine Matrix S^(-1) konstruieren, sodass die Matrix A Diagonalform hat? Danke im Vorhinein! 
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| 12.09.2020, 18:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sieht erst mal gut aus. Warum dann die seltsame Frage nach der Diagonalform ? Eventuell ist die komplexe Diagonalform gemeint. Hast du die Originalmatrix noch parat ? |
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| 12.09.2020, 18:05 | Horner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Leider nein, ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet! Aber danke erstmal für die Antwort!
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