Differentialgleichung

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D12KK Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung
Hallo, ich habe das Thema DGL vor kurzen begonnen und bin da auch noch nit so fit darin. Nun stehe ich vor einem Problem.



hab nur den Tipp bekommen, dass ich das mit den a log (b) lösen soll. Aber ich habe noch nie bei einer DGL den log verwendet und weiß auch nicht wie ich das mit -ln machen soll.

Wäre dankbar wen mir jemand weiter helfen kann smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung
Löse mittels Trennung der Vaiablen!



Links steht die Ableitung von , das Integral der rechten Seite führt ebenfalls auf einen Logarithmus.
Geht's jetzt?

mY+
D12KK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung
Hallo, wie meinst du das mit "trennen der Variablen"?

Also ich habe es so gemacht, aber bin mir nicht sicher ob der weg richtig ist:





dann integrieren



und da ist dann mein Problem mit den -ln
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Trennung der Variablen (Separationsmethode) heisst, y und x auf verschiedene Seiten der Gleichung zu bringen.
Wie ich es dir schon vorgeführt habe, y links und x rechts. Danach lassen sich beide Seiten integrieren.
Was du gemacht hast, ist ebenfalls dasselbe.

Allerdings gibt es bei dir drei Fehler. Du hast auf die Konstante vergessen und die beiden Integrale stimmen nicht.



So wäre es richtig. Kannst du das nachvollziehen? Die 2 wäre übrigens rechts besser aufgehoben.

Jetzt liegt eine logarithmische Gleichung* vor:
Daher delogarithmiert man beide Seiten, anstatt der Konstanten kommt dann

Frage bitte nach, wenn du weiter Probleme hast ...
---------------

(*) Beispiel einer logarithmischen Gleichung:



| delog





mY+
D12KK Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das c habe ich vergessen. Wie kommst du auf



Das verstehe ich noch nicht so ganz und die 2y kann ich ja am anfang auf die linke Seite heben oder?
D12KK Auf diesen Beitrag antworten »

und wie bekomme ich beim delog das -ln(1-x) "richtig hin"?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

musst du in auftrennen, damit dann leichter zu integrieren ist ()

direkt zu zu integrieren, ist wegen des Faktors 2 falsch, denn dieser im Nenner bedingt, dass eigentlich eine Substitution nötig wäre (z = 2y, damit dann das Integral von 1/z als da steht).

Bei der Rücksubstitution müssen noch einige Logarithmengesetze angewandt und die Konstanten zusammengefasst werden.

Mit ist bzw. und . Auch dabei ergibt sich schließlich

Somit ist die Integration von wesentlich einfacher. Sie führt direkt zu .

Weil jetzt die 2 auf der linken Seite im Nenner steht, muss wegen der Wurzel () am Ende noch quadriert werden.
Deswegen ist es besser, die 2 als Faktor auf der rechten Seite zu haben, das ergibt dann gleich das Quadrat.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von D12KK
und wie bekomme ich beim delog das -ln(1-x) "richtig hin"?




Oder alternativ:

mY+
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Du hast auf die Konstante vergessen und die beiden Integrale stimmen nicht.



So wäre es richtig.


Korrekt(er) wäre hier

Das Problem umgehst du ja mit , wobei und ja sicherlich aus sein soll.
D12KK Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke für die gute Erklärung smile

das bedeutet



richtig ist?

und dann muss ich nur mehr das c bestimmen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

c kannst du nur über ein AWP (Anfangswert-Angabe!) bestimmen, also dann, wenn z.B. der Graph durch einen bestimmten Punkt gehen soll.
Das Ergebnis kann übrigens als



geschrieben werden. Probe durch Einsetzen der Funktion und deren Ableitung!

mY+
D12KK Auf diesen Beitrag antworten »

Der Anfangswert ist y(0) = 1

Wie kommt man den auf



c ist ja e^c oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

ist genau so eine Konstante wie jede andere, deswegen kann man sie gleich setzen.
Hat man umgekehrt die ursprüngliche Konstante benannt, ist dann .
Ob du also in den Exponenten einsetzt und dann potenzierst, kannst du von Vornherein c beliebig wählen, solange es kein AWP gibt,

Mit dem AWP gilt: , somit und

Übrigens, damit

Zitat:
Original von D12KK
...
das bedeutet



richtig ist?
...


ist es nicht (da soll kein Logarithmus mehr dabei sein!), die 7 ist wahrscheinlich ein Tippfehler, sollte "/" sein).

mY+
D12KK Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh ok. super danke für deine erklärung

ja 7 war ein tippfehler
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