Kettenregel ....

07.09.2004, 17:07

Saleman

Kettenregel ....

Hallo,

mache gerade die kettenregel.... und verstehe es nicht so ganz genau....
eigentlich geht es nicht selbst um die ableitung, sondern um die verkettung....

Aufgabe : " Gib u(x) und v(x) an, sodass f(x) = u(v(x)) ist. "

z.b. f(x) = Wurzel aus 2x ... dann hab ich ja u(x) = Wurzel aus x
und v(x) = 2x... oder ??? ich denk schon... smile

aber eine funktion wie ...

f(x) = (im zähler) 1 durch (im Nenner) x + 1.... wie kann ich hier u(x) und v(x) bestimmen...

Danke schonmal für eure Hilfe !!

07.09.2004, 17:15

FataLErroR

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u(x) = 1/x

v(x) = x+1

-> f(x) = u(v(x)) = 1/(x+1)

07.09.2004, 17:24

Leopold

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Faustregel:
Was man zuerst berechnet, das ist die innere Funktion, was man zuletzt berechnet, ist die äußere Funktion. Beim Zerlegen empfiehlt es sich, für die äußere Funktion eine andere Variable einzuführen.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Wenn du zum Beispiel f(3) berechnen wolltest, müßtest du zuerst den Nenner berechnen, der ist also die innere Funktion. Dann müßtest du von diesem Nenner den Kehrwert berechnen. Das wäre die äußere Funktion.

innen: $\begin{eqnarray*} v(x) = x+1 \end{eqnarray*}$
außen: $\begin{eqnarray*} u(t)=\frac{1}{t}=t^{-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt (etwas lax):

Ableitung einer Verkettung =
Ableitung der äußeren Funktion (die innere mitgenommen, als nachträglich für t wieder eingesetzt) mal Ableitung der inneren Funktion

07.09.2004, 19:10

Saleman

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danke leopold :]

was ist wenn ich folgende funktion ableiten möchte :

f(x) = Wurzel aus x +1 / Wurzel aus x -1

innen : v (x) = x+1 / x-1
außen: u(t) = Wurzel aus t

soll ich so weiterrechnen oder soll ich den Bruch mit Wurzel x-1 erweitern ..???

dann hätte ich ja :

f(x) = Wurzel aus x² - 1 / x - 1

was wäre dann hier v(x) und u(t) ????

22.10.2004, 10:50

iammrvip

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es ist aber auch gut, dann die variable der inneren funktion zu benutzen:

bsp.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{sin(2x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z(x) = 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(z) = sin(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t) = \sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Saleman
danke leopold :]

was ist wenn ich folgende funktion ableiten möchte :

f(x) = Wurzel aus x +1 / Wurzel aus x -1

innen : v (x) = x+1 / x-1
außen: u(t) = Wurzel aus t

soll ich so weiterrechnen oder soll ich den Bruch mit Wurzel x-1 erweitern ..???

dann hätte ich ja :

f(x) = Wurzel aus x² - 1 / x - 1

was wäre dann hier v(x) und u(t) ????

wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$ mit (x - 1) erweiterst, kommst du aber auf $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-1}{\left(x-1\right)^2} \end{eqnarray*}$ . das macht die sache nicht leichter

zur anderen frage:

bei

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} \end{eqnarray*}$

müsstest du den ganzen term nach der quotientenregel ableiten. dabei sind u und v aber verkettete funktionen oder du schreibst die wurzel erstmal um:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} \end{eqnarray*}$

dann sind u und v:

$\begin{eqnarray*} v = \frac{x + 1}{x - 1}; v' = -\frac{2}{\left(x-1\right)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{v} = v^{\frac{1}{2}}; u' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}} \end{eqnarray*}$

für v musst du die quotientenregel anwenden.

oder die produkt- mit der kettenregel. das würde dich jetzt aber vielleicht eher durcheinander bringen

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