Oberfläche eines achsparallelen Kegelabschnitts

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Der Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »
Oberfläche eines achsparallelen Kegelabschnitts
Meine Frage:
Im Forum wurde in einem Beitrag bereits die Berechnung des Volumens eines achsparallelen Kegelabschnitts diskutiert und erfolgreich gelöst.

Ich stehe aktuell von einem ähnlichen Problem, komme jedoch auf keine Lösung und kann auch in allen mir bekannten Formelsammlungen dazu nichts finden.

Ich würde gerne ebenfalls achsparallel einen Kegel schneiden und davon die Mantelfläche berechnen.

Vielleicht kennt sich jemand damit aus und wäre so freundlich mir dabei weiterzuhelfen.

Gruß
Der Anfänger

Meine Ideen:
Habe es bereits mit einem Oberflächenintegral versucht, bin jedoch leider auf keinen grünen Zweig gekommen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du etwa einen Kegelstumpf ? Da schneidet man von einem Kegel einen kleinen Kegel ab. Das wäre ja sogar für einen Anfänger zu einfach.
Der Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, vielleicht habe ich meine Problemstellung nicht richtig in Worte gefasst.
Ich versuche es nochmal:
Ich meine keinen Kegelstumpf. Dabei würde man ja parallel zur Grundfläche schneiden.
Es geht um einen Kegelschnitt senkrecht zur Grundfläche, welcher gleichzeitig prallel zur Achse liegt.
Ich habe es mal in dem folgenden Bild verdeutlicht. Es geht praktisch um den Flächeninhalt der roten Fläche.
[attach]51881[/attach]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Konstruktion nach muss der Schnitt von Ebene und Kegel eine Hyperbel sein, wenn die Ebene nicht durch die Kegelspitze geht. Wie es dann weiter geht, wissen bessere Geometer als ich.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

[EDIT:]

Die Schnittfläche an sich ist falsch gezeichnet, denn sie ist ein Hyperbelsegment, das als untere Begrenzung keinen Kreis, sondern eine Gerade hat.
Die Fläche dieses Segmentes ist aus der (Mittelpunkts-)gleichung der Hyperbel mittels Flächenintegral zu bestimmen.

Selbstverständlich erzeugt der ebene Schnitt die von dir gezeichnete gekrümmt Fläche auf dem Kegelmantel.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ mYthos

Stellen wir uns den Kegel als Biskuit vor, die Ebene als scharfes Messer, und teilen wir den Kegel mit einem senkrechten Schnitt wie gezeichnet in zwei Teile. Die Schnittflächen sind dann wie von dir beschrieben. Aber vielleicht ist Der Anfänger ja gar nicht an diesen Schnittflächen interessiert, sondern an den Mantelflächen der Kegelteile. Darauf deutet jedenfalls der Begriff Mantelfläche hin, den er benutzt.
Ich würde versuchen, für die rote Mantelfläche eine Parameterdarstellung zu finden und damit in klassischer Weise den Flächeninhalt (Integral über den Betrag des Kreuzprodukts der partiellen Ableitungen) zu bestimmen. Die Tatsache, daß man das laut Der Anfänger in keiner Formelsammlung findet, deutet darauf hin, daß das eine schwer handhabbare Angelegenheit werden könnte. Vielleicht kann man mindestens ein Integral aufstellen, das sich numerisch auswerten läßt. Ich habe leider keine Zeit, mich weiter darum zu kümmern.
 
 
Der Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Ja genau so war es gemeint. Die orange Ebene soll die Schnittebe darstellen, die den Kegel in einem Abstand a zur Achse in zwei Volumenkörper unterteilt. Mich würde in der Tat die Mantelfläche der Kegelteile interessieren und nicht die Schnittebene selbst. Die Gesamtmantelfläche des Kegels ist ja noch recht einfach definiert mit A=r*s*pi. Sobald man den Kegel schneidet, wird es schon deutlich schwieriger und genau an dieser Stelle hänge ich auch.
Habe schon versucht die Mantelfläche über ein Integral der Bogenlänge des verbleibenden Kreissegments über die Höhe zu integrieren, leider jedoch ohne wirklichen Erfolg.

Wäre für weitere Hinweise wirklich dankbar.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man die Fläche berechnen, indem man die Mantelfläche abwickelt ? Dann hat man schon mal eine ebene Fläche. Die Preisfrage bleibt, was die Hyperbel bei der Abwicklung macht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abwicklung und die Konstruktion von Punkten der Schnittkurve ist mit den Mitteln der Darstellenden Geometrie möglich.

Die Abwicklung des Kegelmantels ist ein Kreissektor mit dem Radius gleich der Seitenlänge (Länge der Mantellinien) des Kegels und der Bogenlänge gleich dem Umfang des Basiskreises.
Die Punkte der Schnittlinie ergeben sich in der Abwicklung mittels Abtragen ihrer wahren Abstände von der Kegelspitze auf den entsprechenden Mantellinien.
Man nimmt also hier eine hinlängliche Anzahl von Mantellinien und konstruiert die wahren Längen der Abstände von der Kegelspitze.

Die Lage eines Punktes auf dem Kegelmantel nach der Abwicklung ist auch dort beschrieben.

Eine Art Parametrisierung der Kurvengleichung in der Abwicklung ist in diesem interessanten Link - allerdings bei einem Schnitt nach einer Ellipse - beschrieben.

mY+
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das sind ausgezeichnete Hinweise.

"Es war einmal vor langer Zeit in einer weit, weit entfernten Galaxis", da habe ich ein Semester darstellende Geometrie gehört. Der Professor an der Tafel war sehr schnell, und ich war sehr langsam, so ist dieses durchaus interessante Gebiet nicht mein Favorit geworden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir waren's 2 Semester an der Uni Wien.
Allerdings hatte ich auch im Realgymnasium 2 Jahre (11./12. Schulstufe) "Darstellende", bei einem ausgezeichneten Professor. Der konnte mit Kreide, Riesenzirkel und Linealen beindruckende Tafelbilder zaubern.
Und da gehörten teilweise auch schon diese Themen zum Gegenstand.

mY+
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Der bisherige Stand der Bearbeitung erschien mir etwas unbefriedigend. Deshalb habe ich - ohne jede Vorlesung in darstellender Geometrie - mal etwas herumgerechnet. Für den abgeschnittenenen Teil der Mantelfläche bin ich auf



gekommen.

Radius des Grundkreises

Höhe des Kegels

Länge einer Mantellinie

Abstand der Schnittebene von der Achse

Ich kann nicht ausschließen, dass mir bei der Rechnung ein Fehler unterlaufen ist. Beruhigend ist, dass sich für ergibt und



also die halbe Mantelfläche.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Für meine Rechnung habe ich den Kegel auf den Kopf gestellt mit der Kegelspitze im Koordinatenursprung und der Kegelachse als -Achse. Auf einer Mantellinie habe ich eine Koordinate eingeführt mit dem Zusammenhang



Der senkrechte Schnitt tritt bei



von unten in den Kegel ein. In der Hohe wird ein waagrechter Schnitt durch den Kegel betrachtet. Die Schnittfläche ist ein Kreis mit Radius



Auf dem durch den senkrechten Schnitt abgeschnittenen Teil des Kegels liegt ein Abschnitt dieses Kreises. Es sei

die Bogenlänge des Abschnitts

die halbe Sehnenlänge

der halbe Öffnungswinkel

Die Sehne wird durch den senkrechten Schnitt erzeugt und hat deshalb den Abstand vom Kreismittelpunkt. Es ist







Man erhält



Ersetzen der Koordinate durch die Koordinate ergibt:



Der abgeschnittene Teil der Mantelfläche ist



Mit der Substitution



erhält man



Mein CAS sagt



Daraus ergibt sich der im vorigen Beitrag von mir genannte Ausdruck für .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz weit bin ich noch nicht, immerhin habe ich schon etwas dargestellt, das einige Hyperbelpunkte (in rot) anzeigt. Ich habe wenig Zweifel daran, dass die Analysis meistens der darstellenden Geometrie überlegen ist - aber Spaß macht's trotzdem.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Grund- Auf- und Seitenriss - so haben's die darstellenden Geometer gern Big Laugh .
(NB.: Grundrisspunkte werden mit ', die im Aufriss mit '' und im Seitenriss mit ''' bezeichnet)
----------
Die Hyperbelpunkte sind ja nicht so sehr das Problem, sondern die Berechnung der Teilfläche auf der Mantelfläche.
Ich habe übrigens auch meinen Erstpost editiert.

Neben einigen geometrischen Zusammenhängen erscheint mir als besonders trickreich/elegant die Integration der Bogenlängenfunktion im Beitrag von Huggy.

Leider hat sich "Der Anfänger" bisher nicht mehr (/noch nicht) gemeldet, es wäre interessant, ob und was er damit etwas anfangen kann.

mY+
YvonneRoberts Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin nicht so gut in Geometrie also ich denke es is sehr nützlich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem Huggy eine Lösung hereingestellt hat, hier nun mein Ansatz.

Ich habe als Grundkreisradius und Höhe des Kegels genommen. Den Kegel habe ich in ein kartesisches -Koordinatensystem gelegt, die Spitze im Ursprung, die -Achse als Rotationsachse, den Kegel mit nichtnegativen -Werten. Er besitzt folglich die Gleichung



Nun wird er mit der Ebene

mit einem

geschnitten. Die Schnittlinie ist eine Hyperbel. Projiziert in die -Ebene hat sie die Gleichung



Man setze dazu aus in ein. Die -Werte des Hyperbelstücks und damit auch die -Werte der gesuchten Mantelfläche variieren im Intervall . Die untere Grenze bekommt man mit in . Wir denken uns nun



fest gewählt. Der Schnitt der gesuchten Mantelfläche mit der Ebene ist ein Kreisbogen vom Radius (Strahlensatz). Daher besitzt die gesuchte Fläche die Parameterdarstellung



Für gilt , die Bedingung an muß noch bestimmt werden. In Abhängigkeit von durchläuft ein bezüglich 0 symmetrisches Intervall, die obere Grenze findet man mit Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck durch



Für gilt somit



Die Bedingungen geben die Parameterdarstellung der gesuchten Mantelfläche an. Aus Symmetriegründen kann man bei der Integration mit beginnen und muß dafür den Integralwert verdoppeln.

Zu integrieren ist



Die Mantelfläche ist also



Man substituiert und erhält damit



Der letzte Integrand besitzt die Stammfunktion



wie man zum Beispiel mittels partieller Integration herausfindet. Somit gilt





Dieser Term enthält Pythagoras-Ausdrücke, darunter die Kegelmantellinie, und ein simples Seitenverhältnis bei der Cosinus-Invertierung. Das läßt einen Böses ahnen: Der ganze Aufwand war umsonst, das geht auch elementar-geometrisch. Vielleicht bringt mYthos mal Butter bei die Fische. Man sieht jetzt ja, worauf man hinarbeiten muß.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nun auch einige Blätter Papier vollgeschrieben, indem ich Leopolds ursprünglichem Vorschlag gefolgt bin und es mit einer Parametrisierung des auf der Grundfläche (nicht auf dem Kopf) stehenden Kegels in kartesischen Koordinaten versucht habe.
Das Oberflächenintegral ließ sich überraschend leicht auswerten, womit ich erhalten habe



Die Variablen entsprechen denen von Huggy.

Im Bild gilt , was für Integrationsgrenzen benutzt wurde.

Der Plausibilitätscheck dieser Formel für und wäre zumindest auch schon mal erfüllt. Sie sieht Leopolds mittlerweile hereingereichter Lösung verdächtig ähnlich.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klauss
Sie sieht Leopolds mittlerweile hereingereichter Lösung verdächtig ähnlich.

Wenn man die Arcusfunktionen ineinander umrechnet, sieht man, dass alle 3 Formeln übereinstimmen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Wenn man nicht irgendwelche Formelsammlungen wälzen oder sich in das Dickicht trigonometrischer Untersuchungen am Einheitskreis begeben will, kann man einfach ableiten. Setzt man

(beziehungsweise bei Huggy und klauss)

so hat man die drei Varianten







Huggys Variante kann für stetig ergänzt werden. Somit können wir die Funktionen für definieren. Man rechnet nach, daß



und



gilt. Somit ist in der Tat

klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Nachkontrolle.
Damit wurde wieder für eine anspruchsvolle Aufgabe dank geballter Manpower des Forenpersonals eine multiple Lösung gefunden, die wahrscheinlich sogar die Erwartungen von Der Anfänger übertreffen dürfte.
Der Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für meine späte Antwort. Leider war ich aus privaten Gründen am Wochenende verhindert und kann erst jetzt antworten.
Mir bleibt nur zu sagen: Ihr seid echt der Hammer!!

Ich bin gerade noch dabei die unterschiedlichen Ansätze nachzuvollziehen, aber das ist genau das worauf ich trotz mehreren Seiten Rechenaufwand nicht gekommen bin.

Zur Prüfung der Formel habe ich nun auch unterschiedliche Schnitte nochmal geometrisch in einer CAD Software abgebildet und kann auch in diesem Punkt bestätigen: Die Formeln passen, sodass keine Rechenfehler vorliegen!!

Nochmal 1000 Dank dafür. Bei dieser Unterstützung werde ich auch in Zukunft im Forum aktiv bleiben und soweit möglich zu unterstützen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das hört sich gut an! smile

mY+
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der Anfänger
Zur Prüfung der Formel habe ich nun auch unterschiedliche Schnitte nochmal geometrisch in einer CAD Software abgebildet ...


Welche Software hast du benutzt ? Kannst du deinen Ansatz und deine Ergebnisse veröffentlichen ?
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