Gleichungssystem

18.09.2020, 07:06

Henzi

Gleichungssystem

Meine Frage:
Wie kann ich angehängtes gleichungssystem lösen bzw. das Nichtvorhandensein von einer Lösung, bei der die variablen Unterschiedliche Werte annehmen zeigen?

Meine Ideen:
X=2 y=2 z=2 habe ich gefunden

18.09.2020, 07:59

G180920

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RE: Gleichungssystem
Die Koeffizienten vor allen Potenzen gleicher Ordnung sind identisch.
Dann müssen auch die Variablen identisch sein, wenn die Gleichungen auf der rechten Seite
übereinstimmen sollen.
Es muss gelten x=y=z.
Die Lösung findet man schnell durch Probieren, wie du gesehen hast.

18.09.2020, 11:42

Huggy

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RE: Gleichungssystem

Zitat:

Original von G180920
Die Koeffizienten vor allen Potenzen gleicher Ordnung sind identisch.
Dann müssen auch die Variablen identisch sein, wenn die Gleichungen auf der rechten Seite
übereinstimmen sollen.

Dieser Schluss ist nicht korrekt! Gegenbeispiel: Das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x+y^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+y=1 \end{eqnarray*}$

hat neben 2 Lösungen mit $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ auch 2 Lösungen mit $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} x=0, y=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=1, y=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x=y=z=2 \end{eqnarray*}$ ist aber tatsächlich die einzige Lösung des gegebenen Gleichungssystems. Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x=u+2, y=v+2, z=w+2 \end{eqnarray*}$ erhält man das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} 12 u + 6 u^2 + u^3 - (12 v + 6 v^2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12 v + 6 v^2 + v^3 - (12 w + 6 w^2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12 w + 6 w^2 + w^3 - (12 u + 6 u^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Es sei die erste Gleichung betrachtet. Man sieht leicht, wenn $\begin{eqnarray*} u <0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} 12 u + 6 u^2 + u^3<0 \end{eqnarray*}$ . Dann muss aber auch $\begin{eqnarray*} 12 v + 6 v^2<0 \end{eqnarray*}$ sein, damit die erste Gleichung erfüllt ist. Das ist nur bei $\begin{eqnarray*} -2<v<0 \end{eqnarray*}$ der Fall. Es muss also dann jedenfalls auch $\begin{eqnarray*} v<0 \end{eqnarray*}$ sein. Aus der 2. Gleichung folgt, dass dann auch $\begin{eqnarray*} w<0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Addiert man die 3 Gleichungen, so erhält man

$\begin{eqnarray*} (*) \quad u^3 +v^3 + w^3=0 \end{eqnarray*}$

Wenn nicht gilt $\begin{eqnarray*} u=v=w=0 \end{eqnarray*}$ , dann muss in (*) mindestens eine der Varianlen $\begin{eqnarray*} < 0 \end{eqnarray*}$ sein. Dann müsser nach dem vorigen alle 3 Variablen $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ sein. Dann ist aber (*) nicht erfüllt. Die einzige mögliche Lösung ist daher $\begin{eqnarray*} u=v=w=0 \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} x=y=z=2 \end{eqnarray*}$ ergibt.

18.09.2020, 12:38

G180920

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RE: Gleichungssystem
Dein Beispiel ist ohne "echte" Koeffizienten.
Den Koeffizienten 1 wollen wir nicht berücksichtigen.

18.09.2020, 13:14

Huggy

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RE: Gleichungssystem
Sorry, aber das ist ein mehr als alberner Einwand. Weshalb sollte 1 kein echter Koeffizient sein. Aber seis drum. Dann betrachte

$\begin{eqnarray*} 2 x + y^2 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 y + x^2 = 4 \end{eqnarray*}$

Wiederum gibt es neben 2 Lösungen mit $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ noch 2 Lösungen mit $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} x=0, y=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=2,y=0 \end{eqnarray*}$ . Du hast einfach ohne jeden Beweis eine dir plausibel erscheinende Behauptung aufgestellt und diese Behauptung ist falsch.

18.09.2020, 14:02

G180920

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RE: Gleichungssystem
Gut, du hast Recht. Verallgemeinern kann man das nicht. smile

18.09.2020, 15:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von G180920
Dann müssen auch die Variablen identisch sein, wenn die Gleichungen auf der rechten Seite übereinstimmen sollen.

Dieser Schluss ist nicht korrekt!

Richtig wäre angesichts der vorherrschenden "zyklischen" Symmetrie zumindest folgendes:

Mit $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ sind zwangsläufig auch $\begin{eqnarray*} (y,z,x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (z,x,y) \end{eqnarray*}$ Lösungstripel. Das gilt auch, wenn wir etwa (im Unterschied zu bisher) die komplexen Lösungen dieses Gleichungssystem betrachten wollen.

EDIT: Wenn ich meinem CAS vertraue, dann gibt es neben (-2,-2,-2) noch $\begin{eqnarray*} 3\cdot 8=24 \end{eqnarray*}$ weitere, dann echt komplexe Lösungstripel, bei denen dann übrigens die Komponenten paarweise verschieden sind. Augenzwinkern

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