Beweis für eine Gruppe

18.09.2020, 12:36	Terabithia	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für eine Gruppe Meine Frage: Die Aufgabe lautet: Zeige, dass die Menge aller Bijektionen von X mit der üblichen Komposition von Abbildungen eine Gruppe ist. Meine Ideen: Ich muss also zeigen, dass: a) das Assoziativgesetz gilt b) es ein eindeutiges neutrales Element gibt c) es für jedes Element in X ein inverses gibt Um b) zu beweisen habe ich angenommen, dass es zwei neutrale Elemente gibt und habe so einen Widersprucht generiert, da die Abbildung ja bijektiv ist. und um c) zu beweisen habe ich angenommen, dass es zwei Inversen für ein Element gibt und so gezeigt, dass es dasselbe ist. Ich habe gerade erst mit dem Studium begonnen und habe absolut keine Ahnung ob dies bis jetzt einigermassen stimmt. Ausserdem habe ich keine Ahnung, wie ich die Assoziativität beweisen soll. Wäre froh um Lösungsansätze!
18.09.2020, 15:22	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für eine Gruppe b) und c) sollte passen, wenn du es sauber aufgeschrieben hast. Die Komposition von Abbildungen ist doch aufgrund ihrer Definition generell assoziativ. Die Komposition $\begin{eqnarray} f \circ g \end{eqnarray}$ angewendet auf ein Element $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist definiert als $\begin{eqnarray} (f \circ g) (x) =f(g(x)) \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} (f \circ (g \circ h)) (x)=f((g \circ h)(x))=f(g(h(x))) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ((f \circ g)\circ h) (x)=(f \circ g)(h(x))=f(g(h(x))) \end{eqnarray}$
18.09.2020, 15:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis für c) ergibt, dass die ganzen Zahlen (ohne 0) bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden. Das Inverse einer ganzen Zahl ist in den rationalen Zahlen eindeutig bestimmt, also erst recht in den ganzen Zahlen. Nehmen wir mal an, es gäbe zwei, dann sind sie gleich. qed.

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