Verwirrung bei Fourier-Reihen Entwicklung

18.09.2020, 20:03

Baguette

Verwirrung bei Fourier-Reihen Entwicklung

Moin,

ich stehe bei der nachfolgenden Aufgabe komplett auf dem Schlauch.

Aus dem Graphen (siehe Anhang) soll eine reelle Fourier-Reihe entwickelt werden.

Nun sieht besagter Graph, für mich, sowohl achsen- als auch punkt-symmetrisch aus.

Das hätte zur Folge, dass alle Fourier-Koeffizienten =0 wären, eine Reihe ließe sich also nicht entwickeln.

Kann das sein ??

Viele Grüße

18.09.2020, 20:55

Ulrich Ruhnau

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RE: Verwirrung bei Fourier-Reihen Entwicklung

Zitat:

Original von Baguette
Das hätte zur Folge, dass alle Fourier-Koeffizienten =0 wären, eine Reihe ließe sich also nicht entwickeln.

Falsch! Die Fourierreihenentwicklung wird nur aus Cosinustermen bestehen, wegen $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ . Ich schätze, sie ist in zahlreichen Formelsammlungen tabelliert.

24.09.2020, 18:58

Baguette

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Ja, stimmt. Selbstverständlich ist die Funktion gerade, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Hammer

Dann mache ich mich mal an die Entwicklung (Die Funktion wird übrigens $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ periodisch fortgesetzt).

Für $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{4}{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \! 1 \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4}{2\pi}\cdot \left[\frac{\pi}{2} \right] =1 \end{eqnarray*}$

Berechnung von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \! f(t)\cdot cos(nt) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \! cos(nt) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4}{\pi\cdot n} \left [sin(nt) \right] \end{eqnarray*}$

Wie mache ich jetzt weiter ?
Beim Einsetzen der oberen Grenze würde ich $\begin{eqnarray*} sin( \frac{\pi n}{2}) \end{eqnarray*}$ erhalten.
Kann ich das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , da es eine Konstante ist rausziehen und das ganze so schreiben:
$\begin{eqnarray*} n\cdot sin(\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ ?

Falls ja käme ich auf $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{4}{\pi} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

24.09.2020, 19:02

Baguette

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Ich merke gerade, dass ich das nicht kann....nun stellt sich mir die Frage wie verfahre ich weiter ?

Sorry für den Doppelpost

24.09.2020, 19:49

Baguette

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Sö dritter Post in Folge , weil neuer Denkansatz und so

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ für alle geraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

Für alle ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ alterniert es zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$

Wir erhalten also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} +\sum\limits_{n=1(ungerade)}^{\infty } 1^{n+1}\cdot \frac{1}{n}cos(nt) \end{eqnarray*}$

passt das so ?

24.09.2020, 19:52

Baguette

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Herr im Himmel bin ich zerstreut....

Hier nochmal die Korrektur:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} +\frac{4}{\pi}\cdot\sum\limits_{n=1(ungerade)}^{\infty } (-1)^{n+1}\cdot \frac{1}{n}cos(nt) \end{eqnarray*}$

24.09.2020, 22:14

Baguette

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Ist falsch -

Ich werde versuchen weiterhin selber auf die Lösung zu kommen.

Hier kann zugemacht werden, da es anscheinend sowieso kein Schwein interessiert.

Ciao

25.09.2020, 08:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Baguette
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \! cos(nt) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4}{\pi\cdot n} \left [sin(nt) \right] \end{eqnarray*}$

Wie mache ich jetzt weiter ?

Setzen wir doch erst mal die Grenzen ein:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{4}{\pi\cdot n} \left [sin(nt) \right]_0^{\pi / 2} = \frac{4}{\pi\cdot n} \cdot sin(\frac n 2 \pi) \end{eqnarray*}$

Für gerade n ist der sinus-Ausdruck generell 0. Für ungerade n setzen wir mal n = 2k + 1 . Dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} sin(\frac n 2 \pi) = sin((k + \frac 1 2) \pi) = (-1)^k \end{eqnarray*}$

Insgesamt lautet also die Fourier-Reihe:

$\begin{eqnarray*} F(t) = \frac{4}{\pi} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{1}{2k+1} cos((2k+1)t) \end{eqnarray*}$

Das ist also von deinem Ergebnis gar nicht weit entfernt.

Und sorry, daß gestern nach 19:00 Uhr kein Moderator mehr zur Verfügung stand. Sowas darf natürlich nicht passieren. traurig

EDIT: Fehler in a_0 korrigiert (siehe Hinweis von Huggy)

25.09.2020, 09:14

Huggy

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Man solte noch mal auf $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ schauen. Es ist doch ohne Rechnung $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ klar, da der Mittelwert der Funktion über das Periodenintervall $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

25.09.2020, 11:02

klarsoweit

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Danke für den Hinweis. Habe ich glatt übersehen. Hammer

25.09.2020, 12:43

Baguette

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Vielen Dank dafür!

Ich bitte meine gestrige verbale Entgleisung zu entschuldigen unglücklich

Das mit $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ sehe ich nach erneuter Betrachtung des Graphen auch.

Kann man verallgemeinert sagen, dass $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ bei achsensymmetrischen Funktionen mit negativer und positiver "Halbwelle" immer $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ist? (Sofern Periodizität vorhanden ist)

Desweiteren hätte ich noch zwei weitere Aufgabenstellungen, die sich mit Fourier-Reihenentwicklung beschäftigen. Wäre es möglich sie hier rein zu posten, oder sollte ich einen neuen Beitrag eröffnen ?

Viele Grüße

25.09.2020, 13:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Baguette
Ich bitte meine gestrige verbale Entgleisung zu entschuldigen unglücklich

Akzeptiert. Prost

Zitat:

Original von Baguette
Kann man verallgemeinert sagen, dass $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ bei achsensymmetrischen Funktionen mit negativer und positiver "Halbwelle" immer $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ist? (Sofern Periodizität vorhanden ist)

Ja, sofern sich die Flächen der Halbwellen "aufheben". Ich hoffe mal, daß insgesamt das Ergebnis jetzt richtig ist.

Zitat:

Original von Baguette
Desweiteren hätte ich noch zwei weitere Aufgabenstellungen, die sich mit Fourier-Reihenentwicklung beschäftigen. Wäre es möglich sie hier rein zu posten, oder sollte ich einen neuen Beitrag eröffnen ?

Ist Geschmackssache, beides ist möglich. Im Moment tendiere ich dazu, diesen Beitrag fortzusetzen.

25.09.2020, 18:25

Baguette

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Alles klar, dann wollen wir mal.

Aufgabe 1)

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)=2t, -\pi \leq t < \pi \end{eqnarray*}$ sei periodisch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ fortgesetzt. Skizzieren Sie den Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |t|\leq3\pi \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie die Fourierreihe der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die Amplituden $\begin{eqnarray*} A_k, k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ der einzelnen Teilschwingungen und skizzieren Sie das Amplitudenspektrum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Aufgabe 2)

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)=1+t, -1 \leq t < 1 \end{eqnarray*}$ sei periodisch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ fortgesetzt. Skizzieren Sie den Graphen der fortgesetzten Funktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} -3 \leq t < 3 \end{eqnarray*}$ Bestimmen Sie die Fourier-Koeffizienten der fortgesetzten Funktion und ihre Fourierreihe.
Schreiben Sie die 3. partielle Summe der Fourrierreihe auf.

Lösungsansätze

Die Skizzen der Graphen zu den jeweiligen Aufgaben sind im Anhang zu finden.

Aufgabe 1)

Da die Funktion symmetrisch zum Ursprung ist gilt: $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$

Berechnung von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$

Hinweis: Da partiell integriert wird, habe ich folgende Berechnungsvorschriften aufgestellt:

Für die partielle Integration gilt bekanntlich: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! u'\cdot v = u \cdot v - \int_{}^{} \! u\cdot v' \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} u'= sin(nt) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u=-\frac{1}{n}cos(nt) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v= 2t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \! 2t\cdot sin(nt) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{\pi}([-\frac{1}{n}\cdot cos(n\pi)\cdot 2\pi]+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi} \! cos(nt) \, dt) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{\pi}([-\frac{1}{n}\cdot cos(n\pi)\cdot 2\pi]+\frac{1}{n^2}[sin(n\pi]... \end{eqnarray*}$ )

Da der Sinus sowohl für die obere auch als untere Grenze $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ist, entfällt er.

Wir erhalten mit der Beziehung $\begin{eqnarray*} cos(n\pi)=(-1)^n \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 4\cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} -\frac{1}{n}\cdot (-1)^n\cdot sin(nt) \end{eqnarray*}$

Passt das so ?

Mit der "Berechnung" und der Skizzierung des Amplitudenspektrums habe ich so meine Schwierigkeiten. Formal berechnet sich $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} \end{eqnarray*}$ in unserem Fall wäre es also einfach $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ...jetzt stellt sich mir die Frage für wie viele $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ich das berechnen und skizzieren soll.

Viele Grüße

25.09.2020, 18:30

Baguette

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Ich Depp habe den Anhang vergessen Hammer

. Hier ist er -

26.09.2020, 14:39

Huggy

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Zitat:

Original von Baguette
$\begin{eqnarray*} 4\cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} -\frac{1}{n}\cdot (-1)^n\cdot sin(nt) \end{eqnarray*}$

Passt das so ?

Passt. Etwas schöner sieht

$\begin{eqnarray*} 4\cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot \sin (nt) \end{eqnarray*}$

aus.

Zitat:

jetzt stellt sich mir die Frage für wie viele $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ich das berechnen und skizzieren soll.

Wenn in der Aufgae nichts steht, kannst du es dir aussuchen. 5 - 10 Werte sollten ausreichend sein.

11.10.2020, 11:21

KonverDiv

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Hallo,

zu deiner ersten Aufgabe des Blattes, wo die Sägezahnschwingung $\begin{eqnarray*} f(t) = 2t,\text{ für } -\pi \leq t < \pi \end{eqnarray*}$ dargestellt ist.

1.) Du hast es dort mit einer $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodischen Funktion zu tun, die nicht symmetrisch ist. Daraus folgt, dass die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wegfallen.

2.) Wir rechnen einmal:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2t \, dt = \frac{2}{\pi}\left[\frac{t^2}{2}\right]_{-\pi}^{\pi} = 0 \end{eqnarray*}$

Kommen wir zu $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! f(t)\cdot \sin(nt) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2t\cdot \sin(nt) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{\pi}\left[\frac{4(\sin(\pi n)-\pi\cdot n \cos(\pi n))}{n^2}\right] \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f(t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\pi}\left[\frac{4(\sin(\pi n)-\pi\cdot n \cos(\pi n))}{n^2}\right]\cdot \sin(nt) \end{eqnarray*}$

vereinfachen...

$\begin{eqnarray*} f(t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4\cdot(-1)^{n+1}}{n}\cdot \sin(nt) \end{eqnarray*}$

Plot:

Für den Plot nimmt man die ersten X-Summen (bei mir 3) Glieder und zeichnet die Funktionswerte, mit einem Programm sieht das dann etwa so aus:

[attach]52002[/attach]

Fertig!

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