Verkettung von Funktionen, Kettenregel

19.09.2020, 22:46	gracie	Auf diesen Beitrag antworten »
Verkettung von Funktionen, Kettenregel Meine Frage: Guten Tag, ich würde mich sehr über Hilfe bei den folgenden Aufgaben freuen: 1. Stellen sie die Verkettung der beiden Funktionen dar, mithilfe der Kettenregel und leiten sie ab u(x)=2e^X v(x)=x+1 2.Berechnen sie die Ableitung der Funktion f: a)f(x)=2^x b)f(x)=40,3^x c)f(x)=7 ^3X+2 -3 Ich würde mich sehr über Hilfe und Ansätze freuen Liebe Grüße Meine Ideen: Ich bin etwas verwirrt bei der Verkettung der beiden Funktionen bei der ersten Aufgabe und habe somit keine Idee wie ich hier vorgehen kann.
20.09.2020, 02:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Verkettung (Zusammensetzung, Komposition) zweier Funktionen u(x) und v(x) kann auf zwei Arten - mit verschiedenen Ergebnissen - durchgeführt werden. Entweder bildet man $\begin{eqnarray} u(v(x)) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} v(u(x)) \end{eqnarray}$ Im ersten Fall ist v die innere Funktion und u die äußere, im zweiten Fall ist es umgekehrt. Die Ableitung geschieht nach der Kettenregel, welche - salopp gesprochen - so lautet: Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung. Also gilt $\begin{eqnarray} u(v(x))' = u'(v(x)) \cdot v'(x) \end{eqnarray}$ -------- Ein einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray} u(x) = x^2, v(x) = 3x - 5 \ \to \ u(v(x))=(3x - 5)^2 \end{eqnarray}$ An Stelle von x in der ersten Funktion (u) wird der Term 3x - 5 der zweiten Funktion (v) eingesetzt. Zur Ableitung: $\begin{eqnarray} u(v(x))' = 2 \cdot (3x - 5) \cdot 3 = 6 \cdot (3x - 5) \end{eqnarray}$ , deswegen, weil $\begin{eqnarray} u'(x) = 2x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v'(x) = 3 \end{eqnarray}$ ist. Und falls die Reihenfolge vertauscht wird: $\begin{eqnarray} v(u(x)) = 3x^2 - 5; v(u(x))' = 3 \cdot 2x = 6x \end{eqnarray}$ Kannst du nun dies mit deinen beiden Funktionen durchführen? Du hast also nur u mit v zu verketten, also u(v(x)) zu bilden. Setze an Stelle von x in der ersten Funktion (u) den Term (!) der Funktion v ein. Beachte: Die Ableitung der Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} f(x) = a^x \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f'(x) = a^x \cdot \ln a \end{eqnarray}$ Steht im Exponenten ein Term in x, also eine weitere Funktion, so ist mit der Ableitung dieses Terms zu multiplizieren (das geschieht eben nach der Kettenregel) Schaue dir dazu auch ein kurzes Video von Daniel Jung an, er erklärt die Verkettung recht gut. mY+

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