Sprungfolge zur Impulsfolge

20.09.2020, 07:20

Gast231

Sprungfolge zur Impulsfolge

Meine Frage:
Es gilt für eine Sprungfunktion:

$\begin{eqnarray*} u[n] = \begin{cases}1 & n \geq 0\\0 & n < 0\end{cases} \end{eqnarray*}$
und das kann man dann ja wie folgt schreiben:
$\begin{eqnarray*} u[n] = \sum_{k = 0}^{\infty} \delta[n - k] \end{eqnarray*}$

Dann steht weiter folgendes:
Umgekehrt kann die Impulsfolge als erste Rückwärtsdifferenz der Einheitssprungfolge ausgedrückt werden:

$\begin{eqnarray*} \delta[n] = u[n] - u[n - 1] \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt, wie man darauf auf die letzte Zeile kommt und was ist mit Rückwärtsdifferenz gemeint ?

Meine Ideen:
Ist mit der Rückwärtsdifferenz gemeint, dass ich ableiten soll oder muss ich hier die Folge umschreiben und wenn ja wie gehe ich hierbei vor ?

EDIT(Helferlein): Ersten Latexausdruck korrigiert und Folgebeitrag gelöscht.

20.09.2020, 17:59

Gast96

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Hallo Gast231,

ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} u,\delta\colon\mathbb{Z}\to\{0,1\} \end{eqnarray*}$ gemeint ist und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ definiert ist durch $\begin{eqnarray*} \delta(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta(n)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Es sind drei Fälle zu unterscheiden:

Für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} u(0)-u(0-1) = 1-0 = 1 =\delta (0) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} u(n)-u(n-1) = 1-1 = 0 = \delta(n) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n<0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} u(n)-u(n-1) = 0-0 = 0 = \delta(n) \end{eqnarray*}$ .

Mit "Rückwärtsdifferenz" ist wohl einfach der Ausdruck $\begin{eqnarray*} u(n)-u(n-1) \end{eqnarray*}$ gemeint.
Ableiten kannst Du hier nichts, wenn Deine Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ definiert sind.

20.09.2020, 22:44

Gast231

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Hab mich mal etwas eingelesen und die Delta Folge, die aus der Sprungfolge resultiert, kommt mit der Rückwärtsdifferenz in der Distributionstheorie vor. Dabei geht es um uneigentliche Integrale und soweiter.

Hab das aber noch nicht ganz verstanden. Dennoch danke für deine Antwort

21.09.2020, 00:18

Gast96

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Du musst unterscheiden zwischen dem diskreten und dem kontinuierlichen Fall!

Wir befinden uns hier im diskreten Fall. Auch Deine erste Gleichung $\begin{eqnarray*} u(n)=\sum_{k=0}^\infty\delta(n-k) \end{eqnarray*}$ passt zu der von mir gegebenen Definition von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ :

Für $\begin{eqnarray*} n<0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n-k<0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \delta(n-k)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq0 \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} u(n)=0=\sum_{k=0}^\infty\delta(n-k) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n\geq0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \delta(n-k)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta(n-k)=0 \end{eqnarray*}$ sonst. Es folgt $\begin{eqnarray*} u(n)=1=\sum_{k=0}^\infty\delta(n-k) \end{eqnarray*}$ .

Der Summenausdruck ist übrigens die sogenannte diskrete Faltung von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ .

Die Rückwärtsdifferenzen sind die diskrete Version von Ableitungen, da $\begin{eqnarray*} u(n)-u(n-1) = \frac{u(n)-u(n-1)}{n-(n-1)} \end{eqnarray*}$ , vgl. Differenzenquotienten.

Es gibt natürlich noch die kontinuierliche Version, die Delta-Distribution. Diese ist definiert durch $\begin{eqnarray*} \delta\colon C_c^\infty(\mathbb{R})\to\mathbb{R}, \delta(\varphi):=\varphi(0) \end{eqnarray*}$ . (Diese ist hier aber nicht gemeint!)

Dort wäre das kontinuierliche Analogon von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ die sogenannte Heaviside-Funktion, welche durch $\begin{eqnarray*} \Theta\colon\mathbb{R}\to\{0,1\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Theta(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Theta(x)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$ definiert ist. Dort gilt dann im distributionellen Sinne die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\Theta = \delta \end{eqnarray*}$ .

21.09.2020, 02:36

Gast231

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Also in meinem Buch für Signaltheorie wird die Delta-Distribution schon gemeint. Also es wird im letzten Kapitel im Anhang gerade darauf eingegangen. Ich wusste nur nicht ob es aus der Sprungfolge gemeint ist oder eben aus der Delta Distribution.

21.09.2020, 02:40

Gast231

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$\begin{eqnarray*} <\delta(t), \varphi(t)> = \varphi(0) \end{eqnarray*}$
Alles was du bis zur kontinuierlichen Delta-Distribution geschrieben hast, verstehe ich aber nicht.

21.09.2020, 15:09

Gast96

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Dann musst Du schon genau sagen, was Du nicht verstehst.

Wenn Du mal nach zeitdiskreten Signalen googlest, stößt Du auf viele Links, z.B. auf den folgenden:

eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/zeitdiskrete-signale/sprung-und-impulsfolgen/impulsfolge.html

Dort werden Sprung- und Impulsfolge genau so definiert, wie ich es in meinem ersten Beitrag getan habe.

21.09.2020, 23:05

Gast231

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Zitat:

Original von Gast96
Die Rückwärtsdifferenzen sind die diskrete Version von Ableitungen, da $\begin{eqnarray*} u(n)-u(n-1) = \frac{u(n)-u(n-1)}{n-(n-1)} \end{eqnarray*}$ , vgl. Differenzenquotienten.

Das zum Beispiel verstehe ich nicht. Wie kommst du drauf, dass die rechte Seite, die linke Seite ergibt. Also wie kommst du darauf das da ein Bruch stehen muss.

22.09.2020, 01:00

Gast96

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Dass die Gleichung gilt folgt einfach daraus, dass $\begin{eqnarray*} n-(n-1)=1 \end{eqnarray*}$ ist. Da "muss" natürlich kein Bruch stehen, da $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1}=x \end{eqnarray*}$ ist.

Im kontinuierlichen Fall ist die Ableitung einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ definiert als der Grenzwert der Differenzenquotienten, $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ .

Hier im diskreten Fall ist die Rückwärtsdifferenz $\begin{eqnarray*} u(n)-u(n-1) \end{eqnarray*}$ gleich dem Differenzenquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{u(n)-u(n-1)}{n-(n-1)} \end{eqnarray*}$ , womit die Rückwärtsdifferenz eben als diskretes Analogon der Ableitung interpretiert werden kann.

Auf der Seite die ich verlinkt habe steht dazu z.B. auch: "In zeitkontinuierlichen Bereich ist die Impulsfunktion die Ableitung der Sprungfunktion. (Dies hatte ich als $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\Theta=\delta \end{eqnarray*}$ notiert.) Im zeitdiskreten Bereich wird die Ableitung durch den Differenzenquotienten ersetzt. (...) Im zeitdiskreten Bereich gehen also das Integral in eine Summe und die Ableitung in einen Differenzenquotienten über. "

22.09.2020, 01:55

Gast231

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Zitat:

Original von Gast96
Im kontinuierlichen Fall ist die Ableitung einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ definiert als der Grenzwert der Differenzenquotienten, $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ .

Hier im diskreten Fall ist die Rückwärtsdifferenz $\begin{eqnarray*} u(n)-u(n-1) \end{eqnarray*}$ gleich dem Differenzenquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{u(n)-u(n-1)}{n-(n-1)} \end{eqnarray*}$ , womit die Rückwärtsdifferenz eben als diskretes Analogon der Ableitung interpretiert werden kann.

Wie lässt sich denn x und x0 wählen und wie schreibe ich den Differenzenquotienten für den diskreten Fall auf ? Ich frage weil ich nicht weiss was ich als Grenzwert im Limes einsetzen soll. Ich verstehe jetzt warum der Nenner 1 werden muss aber wie schreibe ich das so auf, dass es mathematisch korrekt ist. Also Für x geht gegen n und x0 ist dann n-1 ? Woher weiss ich dann was x und x0 ist, damit es nach einsetzen des Grezwertes passt

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