Kreise in der Ebene

20.09.2020, 16:06

Hucky

Kreise in der Ebene

Meine Frage:
Ein Kreis k berührt die x-Achse und den Kreis x^2+4x+y^2-4y-1=0 von aussen.
Der Mittelpunkt von k liegt auf der Geraden mit der Gleichung 2x-y=4.
Wie lauten die möglichen Gleichungen?

Meine Ideen:
Pythagoras und Kreisgleichung

20.09.2020, 18:10

klauss

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RE: Kreise in der Ebene
Steht Dir Vektorrechnung zur Verfügung?
Damit habe ich die Konstellation aus dem Bild gefunden.

Bestimme auf jeden Fall zunächst Mittelpunkt und Radius des gegebenen Kreises.

20.09.2020, 19:24

Antezedenz

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RE: Kreise in der Ebene
Ohne mich in den Lösungsprozess einmischen zu wollten, möchte ich einfach mal gesagt haben, dass ich die Aufgabe sehr schön finde smile

20.09.2020, 20:47

Jo-Louis

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RE: Kreise in der Ebene
Vektor Rechnen (ohne Parabel) bekannt
den gegebenen Kreis habe ich mit M (-2/2) r=3 berechnet.

Suche Lösungsweg mit Pythagoras und Skizze

Danke

20.09.2020, 21:23

Leopold

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Man braucht da keine Vektorgeometrie. Das geht elementar. Den gegebenen Kreis bringt man auf die Mittelpunktsform und findet

$\begin{align*} M_1 = \left( -2 , 2 \right) \, , \ \ r_1 = 3 \end{align*}$

als Mittelpunkt und Radius.

Der gesuchte Kreis hat seinen Mittelpunkt $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ auf der Geraden. Da er die x-Achse berührt, ist sein Radius $\begin{align*} r_2 \end{align*}$ so groß wie der Betrag des y-Werts von $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ . Das heißt:

$\begin{align*} M_2 = \left( t , 2t-4 \right) \, , \ \ r_2 = \left| 2t-4 \right| \end{align*}$

Daß sich die Kreise von außen berühren, gilt genau dann, wenn der Abstand der Mittelpunkte gleich der Summe der Radien ist, in quadrierter Form also

$\begin{align*} \left( t - (-2) \right)^2 + \left( (2t-4) - 2 \right)^2 = \left( r_1 + r_2 \right)^2 \end{align*}$

Die Gleichung besitzt vier Lösungen

20.09.2020, 22:14

Antezedenz

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Dann doch noch meine Lösungsvariante smile

Ich habe durch Einsetzen der Geradengleichung in die Kreisgleichung und Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} (x,y) = (x_{M_2}, 0) \end{eqnarray*}$ den Mittelpunkt des gesuchten Kreises gleich in Anhängigkeit vom neuen Radius bestimmt.

Das ergibt (nach Fallunterscheidung):

$\begin{eqnarray*} M_2 = \left(\frac{r_2}{2}+2,r_2\right) \end{eqnarray*}$

und mit Pythagoras die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{r_2}{2}+4\right)^2 +\left(r_2-2\right)^2 = \left(r_2+3\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

21.09.2020, 13:19

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
... Die Gleichung besitzt vier Lösungen

Durch Anklicken wird das Bild vergrössert!
[attach]51929[/attach]
Aus Gründen der Symmetrie sind es vier Kreise mit Mittelpunkten auf der Geraden y=2x-4, welche die x-Achse und den gegebenen Kreis k von aussen berühren.

22.09.2020, 16:36

Jo-Louis

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Hallo Leopold
Ich "schwimme" mit der Formulierung M2 = t,2t - 4)
Frage: Was bedeutet "t" ?
Danke

22.09.2020, 18:03

Leopold

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$\begin{align*} t \end{align*}$ ist ein Parameter für den $\begin{align*} x \end{align*}$ -Wert eines Punktes. Damit der Punkt auf der gegebenen Geraden liegt, muß sich sein $\begin{align*} y \end{align*}$ -Wert nach der Geradengleichung errechnen:

$\begin{align*} y = 2 \color{red} x \color{black} - 4 \end{align*}$

$\begin{align*} \color{red} x=t \color{black} \ \ \Rightarrow \ \ y = 2 \color{red} t \color{black} - 4 \end{align*}$

$\begin{align*} M_2 = \left( t , 2t-4 \right) \end{align*}$ ist daher ein beliebiger Geradenpunkt.

25.09.2020, 11:38

Jo-Louis

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Hallo Leopold
Der "Schwimmer" dankt für den wertvollen Hinweis.
Mit der Gleichung habe ich zwei Lösungen errechnet. M2 = (13/22) r=22 und M3 = (3/2) r= 2
Nun zur Symmetrie.
Die Gerade schneidet x bei 2/0.
Ich habe nun die beiden Vektoren vom M2 und M3 gerechnet. Diese sind (11/22) und (1/2)
Ich multipliziere jeden Vektor mit (-1) und erhalte (-11/-22) resp. (-1/-2)
Zähle ich nun den x-Wert = 2 dazu, erhalte ich M4 = (-9/-22) mit r=22 und M5 = (1/-2 mit r=2.
Frage: Ist das der richtige Weg?

Besten Dank

25.09.2020, 21:27

Leopold

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Deine Ergebnisse stimmen. Für den zweiten Teil hast du dich vermutlich von einer Zeichnung leiten lassen und Symmetrien ausgenutzt. Oder genauer: Du hast eine Punktspiegelung an $\begin{align*} Z =(2,0) \end{align*}$ , dem Schnittpunkt von Gerade und x-Achse, durchgeführt. Das kann man so machen. Der Ansatz liefert aber auch gleich alle Lösungen, wenn man mit dem Betrag richtig rechnet:

$\begin{align*} \left( t+2 \right)^2 + \left( 2t-6 \right)^2 = \left( 3 + \left| 2t-4 \right| \right)^2 \end{align*}$

Der Term im Betrag ändert sein Vorzeichen bei $\begin{align*} t=2 \end{align*}$ . Daher unterscheiden wir die Fälle $\begin{align*} t \geq 2 \end{align*}$ und $\begin{align*} t<2 \end{align*}$ .

1. Im Falle $\begin{align*} t \geq 2 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \left| 2t-4 \right| = 2t-4 \end{align*}$ , so daß die Gleichung

$\begin{align*} \left( t+2 \right)^2 + \left( 2t-6 \right)^2 = \left( 3 + 2t-4 \right)^2 \end{align*}$

lautet. Diese quadratische Gleichung besitzt die Lösungen $\begin{align*} t=3 \end{align*}$ und $\begin{align*} t=13 \end{align*}$ , die beide echte Lösungen des 1. Falles sind, weil für sie $\begin{align*} t \geq 2 \end{align*}$ erfüllt ist.

2. Im Falle $\begin{align*} t<2 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \left| 2t-4 \right| = -2t + 4 \end{align*}$ , so daß die Gleichung

$\begin{align*} \left( t+2 \right)^2 + \left( 2t-6 \right)^2 = \left( 3 - 2t+4 \right)^2 \end{align*}$

lautet. Diese quadratische Gleichung besitzt die Lösungen $\begin{align*} t=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} t=-9 \end{align*}$ , die beide echte Lösungen des 2. Falles sind, weil für sie $\begin{align*} t<2 \end{align*}$ erfüllt ist.

Insgesamt hat man also die vier Lösungen

$\begin{align*} t=-9,1,3,13 \end{align*}$

Eingesetzt in $\begin{align*} \left( t,2t-4 \right) \end{align*}$ erhält man die Kreismittelpunkte, in $\begin{align*} \left| 2t-4 \right| \end{align*}$ die Kreisradien.

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