Erwartungswert als Produkt zweier ZV; GNWS

21.09.2020, 18:00	mnk5077	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert als Produkt zweier ZV; GNWS Hallo zusammen, habe hier zwei Aufgaben bei denen ich irgendwie auf dem Schlauch stehe. Bei der ersten geht es um den Erwartungswert von X^2Y. Normal kein Problem - einfach aus der Kontingenztabelle berechnen. Wie gestaltet sich dies allerdings in diesem Fall? Meine Rechnung wäre: 2^22 = 8. Oder mit der Verschiebungsregeln E(X^2) berechnen = 6 und dann ebenfalls 6*2 = 12. Ist allerdings falsch. Wäre nett, wenn hier jemand erklärt, welche Rechenregeln in so einem Fall gelten. Zu meiner zweiten Aufgabe: Bei der Poisson-Verteilung entspricht der Erwartungswert dem Parameter (in diesem Fall 1.5). Entsprechend hätte ich 1.5^2 genommen und auch hier kommt leider etwas anderes raus. Für Tipps, Rechenregeln und Rechenwege bin ich mehr als dankbar! VG
21.09.2020, 18:29	Gast96	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mnk5077, es scheint mir so, also würdest Du von der Rechenregel $\begin{eqnarray} E(X^2)=E(X)^2 \end{eqnarray}$ ausgehen. Dies ist aber nicht richtig. Es gilt $\begin{eqnarray} E(X^2) = E(X)^2+Var(X) \end{eqnarray}$ . Zur ersten Aufgabe: Da $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ unabhängig sind, sind auch $\begin{eqnarray} X^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ unabhängig und damit ist $\begin{eqnarray} E(X^2Y) = E(X^2)E(Y) \end{eqnarray}$ . Jetzt musst Du nur noch die gegebenen Werte einsetzen. Zur zweiten Aufgabe: Da die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ u.i.v sind, bilden auch die $\begin{eqnarray} X_i^2 \end{eqnarray}$ eine Folge von u.i.v. ZVen. Nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen konvergiert $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2 \end{eqnarray}$ somit in Wahrscheinlichkeit gegen $\begin{eqnarray} E(X_1^2) \end{eqnarray}$ . Dies kannst Du dann wie in der ersten Aufgabe ausrechnen, da Erwartungswert und Varianz einer Poisson-verteilten ZV bekannt sind.
21.09.2020, 18:35	mnk5077	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich habe beides probiert. Ein Mal einfach E(X)^2 nehmen und ein Mal E(X^2) rechnen. Ich habe mich allerdings verrechnet und angenommen, dass E(X^2) 6 ist anstatt 8. Jetzt passt die Rechnung auch wieder. Mein Kopf ist wohl heute nicht ganz wach. Auch bei der anderen Aufgabe war mein Kopf wohl auf Autopilot. Bin mir nicht sicher, wieso ich einfach davon ausgegangen bin, dass das Ergebnis 1.5 zum Quadrat sein musste. Jetzt passt es allerdings. Vielen Dank!
21.09.2020, 18:43	Gast96	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Zur Überprüfung: Die Ergebnisse müssten $\begin{eqnarray} 16 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3.75 \end{eqnarray}$ sein.

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