Fahrzeug rutscht von Straße

22.09.2020, 20:05	GUESTUSER11	Auf diesen Beitrag antworten »
Fahrzeug rutscht von Straße Meine Frage: Die Mittellinie der gezeichneten Rennstrecke wird durch y=4-0.5x^2 beschrieben. Bei spiegelglatter Fahrbahn rutscht ein Fahrzeug und landet im Punkt Y(0\|6) in den Strohballen. Wo hat das Fahrzeug die Straße verlassen? Meine Ideen: Hi! Ich bin hier wirklich unsicher. Ich weiß nicht genau, wie ich vorgehen soll. Natürlich kann ich anhand der Abbildung erkennen, dass die Bahnkurve über die y-Achse gespiegelt ist und dass der Hochpunkt bei (4\|0) ist, aber ich bin mir, wie gesagt, unsicher, wie ich mit der Aufgabe umgehen soll. Danke im Voraus!
22.09.2020, 21:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittels der Ableitung von f(x) bestimmst du zunächst allgemein die Steigung der Tangente an dem noch zu bestimmenden Punkt (x0\|f(x0). Die Tangente muss außerdem durch den Punkt (0\|6) gehen. Die Steigung der Tangente im Punkt (x0\|f(x0) (--> an der Stelle x0) ist y' = -x0 (weil die Ableitung der Parabelfunktion f '(x) = -x ist) Somit lautet die Tangentengleichung $\begin{eqnarray} y = -x_0 \cdot x + 6 \end{eqnarray}$ und die der Parabel nach wie vor $\begin{eqnarray} y = 4 - \frac{x^2} 2 \end{eqnarray}$ Setze beide Funktionsterme gleich, damit bestimmst du die gemeinsamen Punkte. Da es nur einen Berührungspunkt geben soll, ist die Diskriminante der bei der Auflösung nach x (!) entstehenden quadratischen Gleichung Null zu setzen. Damit ergibt sich x0 und weiters dann der Punkt (x0\|f(x0)). [Kontr.: (T = (-2\|2)] mY+
22.09.2020, 23:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt auch noch einen alternativen Weg unter Umgehung der Diskriminantenmethode, welcher vor allem dann vorzuziehen ist, wenn die Gleichungen von höherem Grad werden und die Diskriminantenmethode daher nicht mehr funktioniert. Wieder wird mittels der Ableitung von f(x) zunächst allgemein die Steigung der Tangente an dem noch zu bestimmenden Punkt (x0\|f(x0) bestimmt. Die Steigung der Tangente an der Stelle x0 (des Berührungspunktes) ist y' = -x0 (weil die Ableitung der Parabelfunktion f '(x) = -x ist) Die Tangentengleichung wird nun mittels des Berührungspunktes T(x0\|f(x0)), der auf der Kurve liegt und der zuvor errechneten Steigung -x0 erstellt: Dazu gibt es die Punktrichtungsform: y = m(x - x0) + y0, hier wird sie zu y = -x0(x - x0) + f(x0) Tangente $\begin{eqnarray} t: \ y = -x_0(x - x_0) + 4 - \frac{x_0^2} 2 \end{eqnarray}$ , diese Gerade muss durch den Punkt (0\|6) gehen, also setzen wir dessen Koordinaten an Stelle von x und y (!) ein: $\begin{eqnarray} 6 = -x_0(0 - x_0) + 4 - \frac{x_0^2} 2 \end{eqnarray}$ Aus dieser Gleichung ist x0 zu berechnen: $\begin{eqnarray} 2 = x_0^2 - \frac{x_0^2} 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
23.09.2020, 08:30	GUESTUSER111	Auf diesen Beitrag antworten »
Textaufgabe Tangentengleichung Ok. Ich hab die Aufgabe noch mal mit der 2. Variante versucht und hab auch 2=x0=0.5x0^2-2 bekommen. Ich bin mir jetzt aber nicht ganz sicher wie ich weiter machen soll.
23.09.2020, 09:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, du bist ja fast schon fertig. Die Gleichung ist nach x0 aufzulösen und mit diesem noch der y-Wert durch Einsetzen in den Funktionsterm zu berechnen. Die Frage war, in welchem Punkt das Fahrzeug von der Straße abgekommen war. Allerdings stimmt deine Gleichung nicht oder du hast sie mit Schreibfehler aufgeschrieben. Sie lautet (einmal ohne LaTeX geschrieben) 2 = (x0)^2 - 0.5(x0)^2 Das ist eine rein quadratische Gleichung, löse sie daher nach (x0)^2 (du kannst auch (x0)^2 = u setzen und nach u lösen --> Substitution) Achtung: Die Gleichung hat 2 Lösungen! Laut Skizze kommt aber nur der negative x-Wert in Betracht. mY+
23.09.2020, 18:23	GUESTUSER111	Auf diesen Beitrag antworten »
Textaufgabe Tangentengleichung Ok! Phew endlich verstanden. Also um das nochmal kurz zusammenzufassen muss man zuerst die Koordinaten des Punktes Y(0\|6) in die Punktrichtungsform einsetzen. Danach kann man umformen etc. bis eine quadratische Gleichung entsteht (ich hab mich vorhin vertippt): 0=0.5*(x0)^2-2 Zunächst kann man das in die Mitternachtsformel einsetzen und man erhält zwei Antworten, aber anhand der Skizze kann man den positiven Wert 'weglassen'. Dann setzt man die x-Koordinate, in unserem Fall -2, in f(x) ein und man erhält den Punkt P(-2\|2). Stimmt das alles?
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23.09.2020, 18:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt alles so weit. Die quadratische Gleichung kann man auch ohne Formel (durch Wurzelziehen) lösen, wenn das Mittelglied (x-Glied) fehlt, denn dann ist es eine rein quadratische Gleichung: $\begin{eqnarray} 0.5 x^2 = 2 \ \| \ \cdot 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 2 \vee x = - 2 \quad (\pm \sqrt 4) \end{eqnarray}$ mY+

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