Gershgorin-Kreis - Seite 2

27.09.2020, 23:59

Luftikus

Zitat:

Man lernt mehr aus eigener Arbeit und eigenen Fehlern als daraus, was andere machen.

Das stimmt wohl, oder mit anderen Worten:

Zitat:

Der Unterschied zwischen dem Anfänger und dem Meister besteht darin, dass der Meister öfter versagt hat, als der Anfänger es versucht hat. Augenzwinkern

28.09.2020, 12:13

Elvis

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Erstens hätte ich selbst merken müssen, dass da etwas nicht stimmt, denn ein reelles kubisches Polynom muss eine reelle Nullstelle und in diesem Falle ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen haben. Vielen Dank für deinen Hinweis.

Zweitens habe ich alle Berechnungen detailliert nachvollzogen und festgestellt, dass der Computer wie immer genau das macht, was ich mir von ihm wünsche. Der Fehler lag also bei mir, und mit etwas Mühe habe ich Vorzeichenfehler bei der Berechnung der Determinante |A-xE| entdeckt.

Jetzt ist die Welt wieder in Ordnung:

28.09.2020, 19:17

BABYBOY

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Wie werden aber jetzt die Koeffizienten K1 ,K2 und K3 berechnet ? Big Laugh

28.09.2020, 22:02

Elvis

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Das sind keine Koeffizienten sondern die Kreise, und ihre Berechnung ist
1. oben ausführlich erklärt
2. trivial.

28.09.2020, 22:41

Luftikus

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Zitat:

Original von Kevin007
Luftikus hast du Lust zu erklären>?

Ich überlasse diesen Thread dem pädagogischen Geschick von Elvis. Mal etwas selber zu konstruieren, könnte aber helfen smile

29.09.2020, 16:02

Huggy

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Manchmal hilft es einem Fragesteller, wenn man ihm die Lösung komplett und zusammenhängend präsentiert, obwohl das den Boardprinzipien widerspricht. Ich versuche das mal für Teil der 1 der Aufgabe. Er muss dann natürlich versuchen, das an anderen Beispielen nachzuvollziehen.

(1) Es gibt zwei Gruppen von G-Kreisen, die aus den Zeilen der Matrix bestimmten und die aus den Spalten der Matrix bestimmten Kreise. Da aus der Aufgabenstellung nicht klar ist, welche Gruppe der Kreise man angeben soll, empfiehlt es, sich beide Kreisgruppen anzugeben.

(2) D}ie Mittelpunkte der Kreise sind für beide Kreisgruppen gleich. Sie ergeben sich aus den Diagonalelementen der Matrix. Ihre Koordinaten sind der Realteil und der Imaginärteil des jeweiligen Diagonalelements.

Die Matrix der Aufgabe ist eine reelle Matrix. Die Imaginärteile der Diagonalelemente sind also 0. Also liegen alle Mittelpunkte der G-Kreise auf der x-Achse. Bezeichnet man die Matrixelemente mit $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ , hat man folgende Mittelpunkte der G-Kreise:

$\begin{eqnarray*} M_1=(a_{11},0)=(-2,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_2=(a_{22},0)=(1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_3=(a_{33},0)=(0,0) \end{eqnarray*}$

(3) Die Radien der Kreise ergeben sich als Summe der Absolutbeträge der jeweiligen Zeile bzw. Spalte ohne das Diagonalelement. Mit dem Index $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ für die Zeilenkreise bzw. $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ für die Spaltenkreise erhält man

$\begin{eqnarray*} r_{z1}=|1|+|1|=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{z2}=|1|+|-2|=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{z3}=|-2|+|3|=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{s1}=|1|+|-2|=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{s2}=|1|+|3|=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{z3}=|-2|+|1|=3 \end{eqnarray*}$

Damit ist Teil 1 der Aufgabe erledigt Nach den Eigenwerten ist in der Aufgabe nicht gefragt. Da sich aber Elvis ausgiebig damit beschäftigt hat, betrachte ich auch das.

(3) Alle Eigenwerte befinden sich in der Vereinigungsmenge der Zeilenkreise. Alle Eigenwerte befinden sich in der Vereinigungsmenge der Spaltenkreise. In den beiden Abildungen sind diese Vereinigungsmengen skizziert.

[attach]51972[/attach]

[attach]51973[/attach]

Die Eigenwerte sind rot eingezeichnet. Die Vereinigungsmenge der Spaltenkreise ist eine Teilmenge der Vereinigungsmenge der Zeilenkreise.Also befinden sich alle Eigenwerte in der Vereinigungsmenge der Spaltenkreise.

29.09.2020, 16:24

Huggy

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Die Aussagen über die Eigenwerte lassen sich verfeinern. G-Kreise, die sich überlappen, bilden eine Zusammenhangskomponente. Das ist die Vereinigungsmenge der sich überlappenden Kreise. Das ist wiederum getrennt für Zeilenkreise und Spaltenkreise zu betrachten, Wenn eine Zusammenhangskomponeten aus $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ G-Kreisen besteht, dann befinden sich in ihr genau $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ Eigenwerte.

Wenn also sowohl der Zeilenkreis zu einem Diagonalelement als auch der Spaltenkreis zu demselben Diagonalelement sich nicht mit anderen G-Kreisen überlappt, dann befindet sich in dem kleineren der beiden Kreise genau einn Eigenwert.

29.09.2020, 19:23

Kevin007

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Hast du lust zu erklären wie man die Koeffizienten berechnet ?

29.09.2020, 20:12

Steffen Bühler

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Das K steht nicht für Koeffizient, sondern für Kreis. Und wie diese Kreise berechnet werden, wurde nun mehrmals vorgeführt.

30.09.2020, 00:07

Kevin007

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Ist immer das zweite Element immer 0 ?
Woran erkenne ich das an der Matrix ?

30.09.2020, 07:10

Elvis

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Für komplexe Zahlen x+yi=(x, y) sind x und y beliebige reelle Zahlen. Reelle Zahlen x sind spezielle komplexe Zahlen x=x+0i=(x,0). Die Mittelpunkte der Kreise stehen auf der Hauptdiagonalen der Matrix.

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