DGL 2ter Ordnung

23.09.2020, 16:03	dgler2	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 2ter Ordnung Meine Frage: Wie kann man die folgende DGL lösen? Wobei r>0 und sigma >0 ist. Meine Ideen: Ich weiß nicht wie ich anfangen soll--
23.09.2020, 17:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz $\begin{eqnarray} G(S) = S\cdot H(S) \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} G'(S) = H(S) + S H'(S) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G''(S) = 2H'(S) + S H''(S) \end{eqnarray}$ , und dies eingesetzt in deine DGL dann $\begin{eqnarray} \frac{\sigma^2}{2} S^2 [2 H'(S) + S H''(S)] +rS [H(S) + S H'(S)] - r S H(S) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\sigma^2}{2} S H''(S) + \left(\sigma^2+r\right) H'(S) = 0 \end{eqnarray}$ . Das ist eine einfache DGL erster Ordnung mit trennbaren Variablen für die Funktion $\begin{eqnarray} H'(S) \end{eqnarray}$ , sollte machbar sein.
23.09.2020, 17:19	dgler2	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher das es so stimmt ? Wie kommst du z.B auf den letzten Ausdruck ? Ich habe dne vorletzten Ausdruck ausmultipliziert und komme nicht drauf.. Am ende haben wir außerdem eine Dgl 2ter Ordnung, dies ist doch keine Dgl erster Ordnung
23.09.2020, 18:07	dgler2	Auf diesen Beitrag antworten »
okay habe es jetzt. Danach habe ich nochmal die Stammfunktion von H gebildet und das Ergebnis mal s genommen. Ich komme auf: $\begin{eqnarray} s^{\frac{2r}{\sigma^2}}C_1+sc_2 \end{eqnarray*}$ passt das so? Das war schon eine Lange Rechnung kann man dies nicht bisschen kürze lösen?
24.09.2020, 10:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@dgler2 Deine Lösung ist richtig. Ich habe es mal nachgerechnet wie folgt: --------------------------------------------------------------------------------- Die letzte Gleichung von @Hal 9000 lautete: $\begin{eqnarray} \tfrac{\sigma^2}{2} SH''+(\sigma^2+r)\cdot H'=0 \end{eqnarray}$ Verwende darin folgende zwei Abkürzungen: - $\begin{eqnarray} \,\,\,\,\,H'=L \end{eqnarray}$ (=neue Funktion) und folglich $\begin{eqnarray} H''=L' \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \,\,\,\,\,\alpha=2\cdot \tfrac{\sigma^2+r}{\sigma^2} \end{eqnarray}$ (=Konstante) Damit bekommt man nach kurzer Umformung folgende neue Differenzialgleichung 1.Ordnung für die neue Funktion L(S) $\begin{eqnarray} \tfrac{L'}{L}=-\alpha\cdot \tfrac{1}{S} \end{eqnarray}$ Formale Integration beider Seiten dieser Gleichung liefert $\begin{eqnarray} \log_e(L)=-\alpha \cdot \log_e(S)+\underbrace{ \log_e(C_1)}_{\text{Integrationskonstante}}=\log_e(C_1\cdot S^{-\alpha}) \end{eqnarray}$ Lässt man auf beiden Seiten die log-Funktion weg, erhält man $\begin{eqnarray} L(S)=C_1\cdot S^{-\alpha} \end{eqnarray}$ Da wir nicht die Funktion L(S) suchen, sondern wegen der obigen Substitution $\begin{eqnarray} H'=L \end{eqnarray}$ die Stammfunktion von L(S), müssen wir diese Lösung integrieren und erhalten H(S) gemäß $\begin{eqnarray} H(S)=C_1\cdot\int S^{-\alpha}\,\,dS+C_2=C_1\cdot \tfrac{1}{1-\alpha}S^{1-\alpha}+C_2 \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} C_2 \end{eqnarray}$ eine weitere Integrationskonstante. Um die ursprünglich gesuchte Funktion $\begin{eqnarray} G=S\cdot H \end{eqnarray}$ zu erhalten, muss man die letzte Gleichung mit S multiplizieren, also $\begin{eqnarray} G(S)=S\cdot H=S\cdot \left (C_1\cdot \tfrac{1}{1-\alpha}S^{1-\alpha}+C_2 \right )=C_1\cdot \tfrac{1}{1-\alpha}S^{2-\alpha}+C_2\cdot S \end{eqnarray}$ In dieser Lösung kann man den konstanten Bruch $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{1-\alpha} \end{eqnarray}$ weglassen, weil er in der beliebigen Integrationskonstanten $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ enthalten ist. Weiterhin kann man den Exponenten $\begin{eqnarray} 2-\alpha \end{eqnarray}$ wie folgt vereinfachen $\begin{eqnarray} 2-\alpha=2-2\cdot \tfrac{\sigma^2+r}{\sigma^2}=\tfrac{2r}{\sigma^2} \end{eqnarray}$ Einsetzen ergibt exakt deine Lösung $\begin{eqnarray} G(S)=C_1\cdot S^{2r/\sigma^2}+C_2\cdot S \end{eqnarray}$

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