Kurvenintegral ausrechnen

23.09.2020, 17:45

Mathemannn

Kurvenintegral ausrechnen

Meine Frage:
Hallo, ich habe hier eine Aufgabe
Ich soll die Radontransformation (Ohne Transformation in Polarkoordinaten) für die Funktion f(x)=1 für x^2+y^2=1 , 0 sonst mathematisch durchführen Die Radon Transf. ist gegeben als $\begin{eqnarray*} (u,\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \delta (x^Te_{\phi}-u)\, dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e_{\phi}= \begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und x vektorwertig $\begin{eqnarray*} =(x_1,x_2)^T \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Komme dann darauf, dass das Integral überall null wird, außer bei $\begin{eqnarray*} x_1 cos(alpha)+x_2 sin(alpha)=u \end{eqnarray*}$
Gleichzeitig wird die Funktion 0 bei überall außer x^2+y^2=1
Wie mache ich nun weiter? Ist das nun ein Kurvenintegral mit der Kurve x^2+y^2=1 oder $\begin{eqnarray*} x_1cos(\alpha)+x_2 sin(\alpha)=u \end{eqnarray*}$ ?

23.09.2020, 18:02

Mathemannn

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Oder geht das nur mit Polarkoordinaten?

23.09.2020, 18:28

Mathemannn

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RE: Kurvenintegral ausrechnen

Zitat:

Original von Mathemannn
$\begin{eqnarray*} (u,\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \delta (x^Te_{\phi}-u)\, dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e_{\phi}= \begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und x vektorwertig $\begin{eqnarray*} =(x_1,x_2)^T \end{eqnarray*}$

Kam jetzt auf $\begin{eqnarray*} R(u,\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x_1,x_2) \delta (x_1cos(\alpha)+x_2 sin(\alpha)-u)\, dx_1dx_2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das in Polarkoordinaten Transformiere kommt raus: $\begin{eqnarray*} <br /> R(u,\alpha)=\int_{0}^{2\Pi} \int_{0}^{\infty} \! f(\gamma cos(\beta),\gamma sin(\beta)) \ \delta (\gamma cos(\beta) cos(\alpha)+ \gamma sin(\beta) sin(\alpha)-u) \gamma \, d\gamma d\beta= \int_{0}^{2\Pi} \int_{0}^{\infty} \! 1 \ \delta (\gamma cos(\beta) cos(\alpha)+ \gamma sin(\beta) sin(\alpha)-u) \gamma \, d\gamma d\beta \end{eqnarray*}$

und mit Funktion eingesetzt
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{0}^{2\Pi} \! \ \delta (cos(\beta) cos(\alpha)+ sin(\beta) sin(\alpha)-u) \, d\beta \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Kann mir einer weiter helfen?

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