Vereinfachung

24.09.2020, 11:51	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfachung Hallo zusammen Ich habe folgende Aufgabe gegeben: $\begin{eqnarray} \dfrac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}} \end{eqnarray}$ Wie gehe ich da vor beim Vereinfachen? Ich weiss, dass $\begin{eqnarray} ... = \dfrac{(y-x)(\sqrt{x} \sqrt{y})}{(xy) (\sqrt{y} - \sqrt{x})} \end{eqnarray}$ Aber das Ganze lässt sich schlussendlich bis $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} \end{eqnarray}$ vereinfachen. Nur, wie komme ich dazu? Danke für die Hilfe!
24.09.2020, 11:58	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinfachung $\begin{eqnarray} ... = \dfrac{(y-x)(\sqrt{x} \sqrt{y})}{(xy) (\sqrt{y} - \sqrt{x})} \end{eqnarray}$ 1) Zwischen 2. Klammer im Zähler und 1. Klammer im Nenner kann gekürzt werden. 2) Zu 1. Klammer im Zähler und 2. Klammer im Nenner: Stichwort 3. binomische Formel!
24.09.2020, 12:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst den Bruch geschickt erweitern und danach im Nenner die 3.Binomische Formel (a-b)(a+b)=a²-b² verwenden: $\begin{eqnarray} \frac{\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{y}}{\tfrac{1}{\sqrt{x}}-\tfrac{1}{\sqrt{y}}}=\frac{\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{y}}{\tfrac{1}{\sqrt{x}}-\tfrac{1}{\sqrt{y}}}\cdot \underbrace{\frac{\tfrac{1}{\sqrt{x}}+\tfrac{1}{\sqrt{y}}}{\tfrac{1}{\sqrt{x}}+\tfrac{1}{\sqrt{y}}}}_{=1}=\frac{\left ( \tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{y} \right )\left ( \tfrac{1}{\sqrt{x}}+\tfrac{1}{\sqrt{y}}\right )}{\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{y}}=\tfrac{1}{\sqrt{x}}+\tfrac{1}{\sqrt{y}} \end{eqnarray}$
24.09.2020, 14:41	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Genial! Aber auf diese Idee, das Ganze so umzuformen, muss man erst mal kommen...

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