Implizites Ableiten

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25.09.2020, 17:04	florian95	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizites Ableiten Meine Frage: Hallo Kann jemand mir sagen wo der Fehler bei folgender Rechnung steckt y * y' = y * dy/dx = y * y * d/dx = y^2 * dy/dx * d/dy = y' * d/dy y^2 = y'2y Das ergibt ja einen Widerspruch aber ich sehe meinen Fehler nicht. Ich habe d/dx = dy/dx d/dy gerechnet (ingenieurmäßig). Diese Beziehung haben wir benutzt um implizit zu differenzieren bevor die partielle Ableitung eingeführt wurde. Warum bekomme ich keine Identität raus? 129300 Meine Ideen: Könnte es daran liegen, dass hier die Grenze ist bei dem ingenieurmäßigen behandeln von Differentialen ? Also kürzen, erweitern etc Oder lässt sich auch mit der Ingenieur-Mathe noch erklären wieso keine Identität rauskommt?
25.09.2020, 17:33	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Rechnung nicht. Du sagst: Ihr habt "ingenieurmäßig" wie folgt gerechnet $\begin{eqnarray} \tfrac{d}{dx}=\tfrac{dy}{dx}\tfrac{d}{dy} \end{eqnarray}$ Dies ist nichts anders als die bekannte Kettenregel. Diese lautet: Die Ableitung einer verkettete Funktion $\begin{eqnarray} f[y(x)] \end{eqnarray}$ nach der "inneren" Variablen x lautet: $\begin{eqnarray} \tfrac{df}{dx}=\tfrac{df}{dy}\tfrac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ Das ist das Gleiche wie oben. Diese Regel benötigt man auch beim impliziten Ableiten.
25.09.2020, 17:42	florian95	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe y' als dy/dx und dann das dy/dx als y * d/dx. Anschließend dann das d/dx als dy/dx * d/dy. Kannst du mir sagen wo mein Fehler bei der Rechnung ist? Also wieso ich keine Identität rausbekomme?
25.09.2020, 19:42	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = y\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \end{eqnarray}$ stimmt nicht. Die rechte Seite ließe sich als Operator interpretieren. Auf eine Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ wirkt die linke Seite so: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm dy(x)}{\mathrm dx}g(x). \end{eqnarray}$ Die rechte Seite wirkt so: $\begin{eqnarray} y(x)\frac{\mathrm dg(x)}{\mathrm dx}. \end{eqnarray}$ Damit das gleich sein kann, muss die Differenz verschwinden, also $\begin{eqnarray} 0 = y'g - yg' = g^2\cdot\Big(\frac{y}{g}\Big)'. \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} g\ne 0 \end{eqnarray}$ geht das nur, wenn $\begin{eqnarray} (y/g)'=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} y/g \end{eqnarray}$ eine Konstante ist.
25.09.2020, 19:50	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Was man rechnen kann, ist $\begin{eqnarray} (yy)' = yy' + y'y = 2yy'. \end{eqnarray}$ Das macht $\begin{eqnarray} yy' = \tfrac{1}{2}(y^2)'. \end{eqnarray}$
25.09.2020, 20:51	florian95	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsoo. Ich dachte das dy/dx = y * d/dx ist. Also ist das nicht kommutativ richtig? Aber ansonsten sind Differentialquotienten kommutativ oder? Also dy/du * du/dx = du/dx * dy/du geht so?
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25.09.2020, 21:04	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Differentialquotienten (ausgewertet an einer bestimmten Stelle) sind gewöhnliche reelle Zahlen, für die zweifellos das Kommutativgesetz gilt.
25.09.2020, 21:09	florian95	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. Aber für Differentialoperatoren gilt das Kommutativgesetz nicht ? Bzw dachte ich das man Differentialoperatoren wie Faktoren behandeln kann. Das ist aber nicht richtig oder?
25.09.2020, 22:35	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist erst einmal zu definieren, was damit überhaupt gemeint sein soll. Das punktweise Produkt zweier Funktion definiert man so: $\begin{eqnarray} (fg)(x) := f(x)\cdot g(x). \end{eqnarray}$ Also wenn $\begin{eqnarray} (Df)(x) := \frac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx} \end{eqnarray}$ die gewöhnliche Ableitung ist, was ist dann $\begin{eqnarray} fD \end{eqnarray}$ ? Eine mögliche Definition wäre $\begin{eqnarray} ((fD)g)(x) := f(x)\cdot(Dg)(x). \end{eqnarray}$ Die Aussage $\begin{eqnarray} Df = fD \end{eqnarray}$ ist dann im Allgemeinen falsch. Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray} f(x):=x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x):=x \end{eqnarray}$ . Für diese ist $\begin{eqnarray} 2x^2 = 2x\cdot x = ((Df)g)(x) \ne ((fD)g)(x) = f(x)\cdot (Dg)(x) = x^2\cdot 1 = x^2. \end{eqnarray}$
25.09.2020, 22:43	florian95	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie ist das denn im allgemeinen in der Physik oder in der Ingenieur-Mathematik? Fasst man es so auf, dass der Differentialoperator an eine Gleichung "dran multipliziert" wird? Oder eher so, dass er auf eine Gleichung "einwirkt" ? Weil wenn man es als "dran multiplizieren" verstehen könnte, würde ja auch sowas gehen wie dy/dx = y * d/dx und das ist so nicht korrekt wie ich verstanden habe.
25.09.2020, 23:18	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine kurze Bemerkung: Meine Definition oben lässt sich kürzer schreiben als $\begin{eqnarray} (fD)g := f(Dg), \end{eqnarray}$ ist also genau so definiert, dass das Assoziativgesetz erfüllt ist. Die Mathematiker haben Formalismen zu entwickeln, mit denen Physiker und Ingenieure arbeiten können, die benutzen also keine "andere" Mathematik. Wie man etwas interpretiert, bleibt einem selbst überlassen. Nur sollte die Interpretation (unter gewissen Prämissen) die mathematischen Gesetze nicht verletzen. Ein Operator wirkt einerseits auf eine Funktion ein. Andererseits lässt sich das auch als Multiplikation des Operators mit der Funktion verstehen. Das ist so ähnlich wie mit dem Produkt $\begin{eqnarray} Av \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Matrix und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ein Koordinatenvektor ist. Hier lässt sich $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auch als eine lineare Abbildung zwischen Koordinatenräumen betrachten, die auf den Vektor einwirkt.

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