Fläche bei zufälliger Länge

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Fläche bei zufälliger Länge
Bei einem zurückgelegten Weg der Länge ist bei einer Höhe die überstrichene Fläche . Im weiteren Sinn kann bspw. auch eine Zeit und eine Rate sein. Ist die Höhe nun vom Ort abhängig, dann ist



Sei nun stattdessen die Höhe konstant und die Wahrscheinlichkeit, dass am Ort noch Weg zurückgelegt wird. D.h. ist Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess bei zum Stillstand kommt. (Man nennt in diesem Zusammenhang auch Zuverlässigkeitsfunktion oder Überlebensfunktion, habe ich gerade gelernt.)

Dann ist wieder



wobei diesmal der Erwartungswert für den zurückgelegten Weg ist.

Ich will jetzt natürlich darauf hinaus, wie es sich verhält, wenn sowohl variabel ist als auch der zurückgelegte Weg eine Zufallsgröße darstellt.

Dann sollte gelten



Stimmt das, und wenn ja, wie kommt man darauf?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt eine Herleitung gefunden. Laut Law of the unconscious statistician gilt



wobei die Dichte von ist. Nun ist hier



der Flächeninhalt nach zurückgelegter Strecke , also . Es gelte und für . Nehmen wir außerdem an, ist differenzierbar, dann gilt . Mittels partieller Integration findet sich


Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Falls nicht differenzierbar ist, geht mit dem Stieltjes-Integral die partielle Integration

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