Fisherinformation von logarithmischer relativer Chance

27.09.2020, 17:37	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Fisherinformation von logarithmischer relativer Chance Bei folgendem Beispiel kann ich einen Rechenschritt nicht nachvollziehen: Gegeben unabhängige $\begin{eqnarray} X_1 \sim Bin(n_1,\pi_1), X_2 = \sim Bin(n_2,\pi_2) \end{eqnarray}$ . Kontext ist die Unterschung der Nullhypothese \pi_1 = \pi_2, aber das ist für meine Frage irrelevant. Es wird dann zur Beantwortung der Nullhypothese die relative Chance \theta gebildet $\begin{eqnarray} \theta = \frac{\pi_1 / (1-\pi_1)}{\pi_2 / (1-\pi_2)} \end{eqnarray}$ und dann zur logarithmierten relativen Chance \Psi übergegangen: $\begin{eqnarray} \Psi = log(\theta) = log(\frac{\pi_1}{1-\pi_1}) - log(\frac{\pi_2}{1-\pi_2}) \end{eqnarray}$ . Es wird dann ohne große Erklärung ("Mit Rechenregeln der Analysis folgt...") $\begin{eqnarray} I(\Psi_{ML}) = (I(\phi_{1,ML})^{-1} + I(\phi_{2,ML})^{-1} )^{-1}) \end{eqnarray}$ gefolgert, wobei $\begin{eqnarray} \phi_i = log(\pi_i/(1-\pi_i)) \end{eqnarray}$ definiert ist und I(.) die Fisherinformation des zugehörigen Parameters ist. ML meint den Maximum-Likelihood-Schätzer. Wie kommt man von $\begin{eqnarray} \Psi = \phi_1 - \phi_2 \end{eqnarray}$ zu der Gleichung für die Fisherinformation? Die Abbildung $\begin{eqnarray} \Psi(\phi_1, \phi_2) \end{eqnarray}$ ist ja nicht mal bijektiv, daher nicht invertierbar und folglich kann ich das Ergebnis nicht durch invertieren und einfaches Ausrechnen bestimmen.
27.09.2020, 22:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fisherinformation von logarithmischer relativer Chance Leider ist mathematische Notation überladen, da man zu viele wichtigen Konzepte mit kurzen Schreibweise versehen hat. Ohne mich genauer damit auseinander zu setzen, vermute ich es ist hier nicht die invertierte Abbildung (Umkehrabbildung) gemeint, sondern die negative Potenzfuktion, d.h. $\begin{eqnarray} a^{-1} = \frac 1 a \end{eqnarray}$ für Zahlen $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ .
28.09.2020, 00:29	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Entschuldige, ich habe es 1:1 aus dem Buch mit dem ich arbeite kopiert, ja es ist das multiplikative Inverse gemeint. Ich meinte, dass ich bei einer bijektiven Parametertransformation einfach das Psi in die Likelihoodfunktion einsetzen und dann durch stumpfes Ausrechnen die Fisherinformation bestimmen hätte können. Hier ist das ohne Weiteres nicht möglich. Es scheint einen allgemeineren Zusammenhang zu geben, welcher sich mir nicht erschließt. Ich verstehe nicht, woher diese Formel stammt. Ich habe schon einiges versucht, aber kriege hier aktuell keinen Ansatz hin.

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