Elliptische partielle Differentialgleichung

30.09.2020, 10:37	lauiiiii	Auf diesen Beitrag antworten »
Elliptische partielle Differentialgleichung Meine Frage: Es geht hier um einen Beweis einer Folgerung von Hopfs Maximumprinzip, leider weiß ich nicht wie man da ran gehen soll. $\begin{eqnarray} \text{Sei} u\in C^{2}(\Omega),\, \Omega\, \text{sei ein Gebiet und u erfülle}<br /> \sum_{i,j}a_{ij}\partial_{x_{i}x_{j}}^{2}u\leq b(x)(u+\vert Du\vert),<br /> \text{mit}\, a_{ij},\, b\, in \,\Omega\, \text{ lokal beschränkt, und}\, a_{ij}\,\text{ lokal gleichmäßig positiv definit. \\<br /> Falls }\,u\geq0\, in\, \Omega \,und\, u\,\text{ an irgendeinem Punkt}\,x_{0}\, in\,\Omega \,\text{den Wert Null annimmt, dann gilt} \,u\equiv0 \,in \,\Omega.\\<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine bisherige Überlegung schein mir zu einfach zu sein: Ich nehme an, dass u nicht konstant ist und wenn u ein Minimum 0 annimmt dann muss die Jacobimatrix an diesem Punkt 0 sein und die Hessematrix >0. $\begin{eqnarray} \sum_{i,j}a_{ij}\partial_{x_{i}x_{j}}^{2}u\leq b(x)(u+\vert Du\vert) \end{eqnarray}$ Dann ist ja meine rechte Seite der Gleichung >0 und die linke reduziert sich auf b(x)u, wobei wenn ich u an der Stelle $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ auswerte, die rechte Seite 0 ergit. Kann ich dann schon direkt Folgern, dass $\begin{eqnarray} u\equiv 0 \end{eqnarray}$ gelten muss, da ich ansonsten einenWiderspruch zur Voraussetzung habe? Vielen Dang für eure Hilfe $\begin{eqnarray} <br /> \text{Der Tipp ist}\,b_{i}=-b(x)\partial_{x_{i}}u/\vert Du\vert, \, wenn \, Du(x)\neq 0\,und b_{i}=0,\, wenn\, Du(x)=0.\\<br /> Dann\, b(x)=\vert Du\vert=-\sum_{i}b_{i}\partial_{x_{i}}u. \end{eqnarray}$ LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

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