Möbius-Inversion Beweis

30.09.2020, 12:02

Julia 004

Möbius-Inversion Beweis

Meine Frage:
Ich versuche den Beweis zur Möbius-Inversion aus dem Skript zu verstehen (siehe Bild).

Meine Ideen:
Also Ziel ist es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(N) =\sum\limits_{d|n} \mu(d)F(\frac{N}{d}) \end{eqnarray*}$ ist. Es wird ein direkter Beweis geführt. Man betrachtet zunächst die rechte Seite und formt sie so weit um bis man die linke da stehen hat. Im ersten Schritt wird für $\begin{eqnarray*} F(\frac{N}{d}) \end{eqnarray*}$ die Definition eingesetzt. Wieso darf man dann aber die Summen so vertauschen und wieso steht da plötzlich $\begin{eqnarray*} n|N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d| \frac{N}{n} \end{eqnarray*}$ unter der Summe statt wie vorher $\begin{eqnarray*} d|n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n| \frac{N}{d} \end{eqnarray*}$ . Zudem verstehe ich nicht warum der letzte Schritt trivial sein soll also warum es sich bei
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n|N} (\sum\limits_{d|\frac{N}{n}} \mu(d))\cdot f(n) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} f(N) \end{eqnarray*}$ handeln soll.

30.09.2020, 12:56

Elvis

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Der letzte Schritt ist trivial, weil $\begin{eqnarray*} \sum_{d|m}\mu(d)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\ge 2 \end{eqnarray*}$ . Das davor ist Distributivgesetz und Umbenennung der Teiler.

Etwas ausführlicher:

30.09.2020, 14:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Julia 004
wieso steht da plötzlich $\begin{eqnarray*} n|N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d| \frac{N}{n} \end{eqnarray*}$ unter der Summe statt wie vorher $\begin{eqnarray*} {\color{red}d\mid n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n| \frac{N}{d} \end{eqnarray*}$ .

Nein, nicht $\begin{eqnarray*} {\color{red}d\mid n} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} {\color{red}d\mid N} \end{eqnarray*}$ . Wenn schon wie hier $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ verschiedene Werte bedeuten, dann sollte man darauf auch sorgfältig achten.

Die Begründung steht zwar so ähnlich in Elvis' Text, aber auf deine Symbole nochmal speziell zugeschnitten:

Zunächst mal geht es bei den Teilern wohl nur um positive ganze Zahlen. Die Wahl von $\begin{eqnarray*} n\mid N \end{eqnarray*}$ und die nachfolgende Wahl von $\begin{eqnarray*} d\mid\frac{N}{n} \end{eqnarray*}$ ist gleichbedeutend mit der Wahl eines geordneten Paares $\begin{eqnarray*} (n,d) \end{eqnarray*}$ positiver ganzer Zahlen mit $\begin{eqnarray*} (n\cdot d)\mid N \end{eqnarray*}$ . Das ist natürlich gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} (d\cdot n)\mid N \end{eqnarray*}$ , und damit kann man die Argumentation von eben auch "rückwärts" lesen: Das ist gleichbedeutend mit der Wahl von $\begin{eqnarray*} d\mid N \end{eqnarray*}$ und nachfolgend $\begin{eqnarray*} n\mid \frac{N}{d} \end{eqnarray*}$ .

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