Vorgang mit zufälliger Latenz

01.10.2020, 15:10

Finn_

Vorgang mit zufälliger Latenz

Sei $\begin{eqnarray*} F(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\ge 0 \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion dafür, dass ein Vorgang zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nach Beginn endet. Der Vorgang beginne nun erst nach einer bestimmten Latenzzeit, deren Ende selbst zufällig ist, mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} G(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\ge 0 \end{eqnarray*}$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Vorgang zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nach dem Beginn der Latenzzeit gerade stattfindet?

01.10.2020, 15:33

HAL 9000

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Der Vorgangszeitraum ist $\begin{eqnarray*} \left[T_1,T_1+T_2\right) \end{eqnarray*}$ mit unabhängigen Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ verteilt gemäß VF $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ verteilt gemäß VF $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

Du fragst nun für gegebenes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nach der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P\left(T_1\leq t < T_1+T_2\right) \end{eqnarray*}$ ? Naja, da kommt eine Art Faltungsintegral heraus:

$\begin{eqnarray*} P\left(T_1\leq t < T_1+T_2\right) = \int\limits_0^t P\left(T_1\leq t < T_1+T_2 \mid T_1=\tau\right) ~ \dd G(\tau) = \int\limits_0^t P\left(t < \tau+T_2 \mid T_1=\tau\right) ~ \dd G(\tau) = \int\limits_0^t P\left(T_2 > t-\tau\right) ~ \dd G(\tau) = \int\limits_0^t \left(1-F\left(t-\tau\right)\right) ~ \dd G(\tau) \end{eqnarray*}$ .

01.10.2020, 19:20

Finn_

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Ja, richtig. Da kommt wohl das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit in der stetigen Version zur Anwendung. Ich muss noch ein wenig darüber sinnieren.

Zur Faltung kann ich präzisieren. Bei der Faltung $\begin{eqnarray*} f*g \end{eqnarray*}$ würde man ja für zwei allgemeine Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ zunächst gerne haben, dass sie nichtnegativen Träger besitzen. Das erlaubt die Einschränkung des Integrationsintervalls von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,t] \end{eqnarray*}$ ohne Änderung der Definition.

Bei stetiger Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ gilt dann mit der Leibnizregel

$\begin{eqnarray*} (f*g)'(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_0^x f(x-\tau)g(\tau)\,\mathrm d\tau = f(0)g(x)+\int_0^x f'(x-\tau)g(\tau)\,\mathrm d\tau = f(0)g(x) + (f'*g)(x). \end{eqnarray*}$

Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist, muss $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ sein. Dies bringt die Regel

$\begin{eqnarray*} (f*g)' = f'*g = f*g' \end{eqnarray*}$

hervor.

Wegen $\begin{eqnarray*} F(t)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ ist das bei $\begin{eqnarray*} \bar F:=1-F \end{eqnarray*}$ nicht gegeben, aber bei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ denn stetig differenzierbar ist. Das Integral zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist nun zu

$\begin{eqnarray*} G-F*g = G-(F*G)' = G-(f*G) = (1-f*)G \end{eqnarray*}$

umformbar, wobei $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ die Dichten von $\begin{eqnarray*} F,G \end{eqnarray*}$ sind.

01.10.2020, 19:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Finn_
Das erlaubt die Einschränkung des Integrationsintervalls von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,t] \end{eqnarray*}$ ohne Änderung der Definition.

Das eigentliche Integrationsintervall oben war $\begin{eqnarray*} (-\infty,t] \end{eqnarray*}$ . Da ich aber von einer nichtnegativen Latenzzeit ausgegangen bin, reduziert sich das dadurch schon mal auf $\begin{eqnarray*} [0,t] \end{eqnarray*}$ . Weiterer Begründung dafür bedarf es nicht.

Aus welchen Gründen du da die Integrale per partieller Integration hin- und herrechnest, ist mir nicht ganz klar, aber du wirst schon wissen warum.

Wie auch immer, wenn du das eher als Integral über $\begin{eqnarray*} \dd F \end{eqnarray*}$ haben willst, dann hat es die Darstellung $\begin{eqnarray*} P\left(T_1\leq t < T_1+T_2\right) = G(t) - \int\limits_0^t G(t-u) ~ \dd F(u) \end{eqnarray*}$ .

02.10.2020, 17:22

Finn_

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Ok, nach Recherche ist das für mich etwas klarer geworden. Meinem Verständnis nach beruht die Rechnung auf der folgenden Regel. Das kontinuierliche Analogon zum Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit ist

$\begin{eqnarray*} P(A) = \int_{-\infty}^\infty P(A\mid X=x)\,\mathrm dF_X(x). \end{eqnarray*}$

Herleitungen führen $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ gemäß

$\begin{eqnarray*} P(A) = E(1_A) = E(E(1_A\mid X)) \end{eqnarray*}$

auf den bedingten Erwartungswert zurück.

Weil für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Ereignis eingesetzt werden kann, ist auch das Urbild einer messbaren Menge unter einer Zufallsgröße erlaubt. Das wäre hier

$\begin{eqnarray*} A:=\mathbf X^{-1}(I_1\times I_2),\quad\mathbf X:=\begin{pmatrix}X_1\\ X_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}T_1 \\ T_1+T_2\end{pmatrix},\quad I_1 := [0,t],\quad I_2 := (t,\infty). \end{eqnarray*}$

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