Fourier Transformation Ähnlichkeitssatz

02.10.2020, 02:06

Gast002

Fourier Transformation Ähnlichkeitssatz

Meine Frage:
Warum ist beim Exponenten der e Funktion das a positiv, wenn ich beim Ähnlichkeitssatz für den Fall a < 0, wie folgt vorgehe:
$\begin{eqnarray*} S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(-a \cdot t) \cdot {e}^{-j 2 \pi f t} \cdot dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t' = -a \cdot t \end{eqnarray*}$ Dann kommt ja nach Ableitung und einsetzen in das Integral, folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{-a} \int_{+\infty}^{-\infty} s(t'){e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{-a} \right)t'} dt' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t'){e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{-a} \right)t'} dt' \end{eqnarray*}$

Dann kommt ja vor dem Integral 1/|a| da ja auch für a > 0 das selbe Integral steht oder ?

Wenn ich mir aber den Exponenten der e Funktion anschaue, steht da ja f/-a für den Fall a < 0 und für a > 0 steht da ja f/a. Dann ist das ja nicht das selbe Integral oder ?

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, dass die e Funktion mit dem Exponenten von 2 mal pi ja eine volle Umdrehung ist, sodass ich das - vor dem a in f/-a weglassen kann.
Da bin ich mir aber auch nicht sicher, da das ja in eine andere Richtung dreht und die trigonometrische Darstelung mit -j sin ja auch anders steht.

02.10.2020, 08:08

klarsoweit

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RE: Fourier Transformation Ähnlichkeitssatz

Zitat:

Original von Gast002
Dann kommt ja vor dem Integral 1/|a| da ja auch für a > 0 das selbe Integral steht oder ?

Hm, irgendwie verstehe ich die Frage nicht. Das letzte Integral entsteht durch Vertauschung der Integralgrenzen, wodurch sich das Vorzeichen umdreht.

02.10.2020, 12:17

Gast002

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RE: Fourier Transformation Ähnlichkeitssatz

Zitat:

Original von Gast002
Meine Frage:
Warum ist beim Exponenten der e Funktion das a positiv, wenn ich beim Ähnlichkeitssatz für den Fall a < 0, wie folgt vorgehe:

$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{-a} \int_{+\infty}^{-\infty} s(t'){e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{-a} \right)t'} dt' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t'){e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{-a} \right)t'} dt' \end{eqnarray*}$

Dann kommt ja vor dem Integral 1/|a| da ja auch für a > 0 das selbe Integral steht oder ?

Wenn ich mir aber den Exponenten der e Funktion anschaue, steht da ja f/-a für den Fall a < 0 und für a > 0 steht da ja f/a. Dann ist das ja nicht das selbe Integral oder ?

Wenn jetzt a aber Positiv ist, sprich a > 0, dann steht da ja folgendes:
$\begin{eqnarray*} S(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}s(a \cdot t) {e}^{-j 2 \pi f t} dt \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} t' = a \cdot t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t') {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{a}\right) t'} dt' \end{eqnarray*}$

Und meine Frage zielt auf den Exponenten der E - Funktion im Integranden. Wie können denn beide Integrale nun gleich sein, wenn bei a > 0 $\begin{eqnarray*} {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{a} \right) t'} \end{eqnarray*}$ steht und bei
a < 0 der Exponent der E-Funktion wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray*} {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{-a}\right) t'} \end{eqnarray*}$
dann Frage ich mich, ob die beiden Integrale die selben sind.

Ich hoffe das mein Problem nun etwas klarer ist. Um es kurz zu sagen, es geht mir dabei um den Exponenten der E-Funktion im Integranden bei a > 0 und a < 0

02.10.2020, 14:27

klarsoweit

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RE: Fourier Transformation Ähnlichkeitssatz

Zitat:

Original von Gast002
Wenn jetzt a aber Positiv ist, sprich a > 0, dann steht da ja folgendes:
$\begin{eqnarray*} S(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}s(a \cdot t) {e}^{-j 2 \pi f t} dt \end{eqnarray*}$ mit

Irgendwie verstehe ich es immer noch nicht. In dem Integral steht der Parameter a. Der kann positiv oder negativ sein. Aber wenn er negativ ist, wird doch nicht deswegen ein Minus vor den Parameter geschrieben. Welchen Sinn sollte das haben?

02.10.2020, 14:50

Gast002

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Was würde denn passieren, wenn der Parameter ein minus als Vorfaktor hat ? Wenn ich doch sage das a < 0 sein soll, dann kann ich doch auch ein minus davor schreiben oder ?

02.10.2020, 15:22

Gast002

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Es geht mir darum, um zu zeigen wie erstens der Betrag im Nenner zustande kommt und zweitens wie im Exponenten der E-Funktion kein Betrag steht und wenn jetzt a sowohl negativ als positiv sein kann, dann bräuchte ich die Betragsstriche im Nenner ja gar nicht. Bei uns wird aber der Ähnlichkeitssatz wie folgt definiert
$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t') {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{a} \right)t'} dt' \end{eqnarray*}$
Und das ergibt wiederrum:
$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{|a|} S \left(\frac{f}{a} \right) \end{eqnarray*}$

Bei uns im Skript sieht es genau so aus:
Für a > 0:
$\begin{eqnarray*} S(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} s(a \cdot t) {e}^{-j 2 \pi f t} dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t' = a \cdot t \end{eqnarray*}$ nach ableiten und einsetzen
$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t') {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{a} \right) t'} dt' \end{eqnarray*}$
Für a < 0:
$\begin{eqnarray*} S(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} s(-a \cdot t) {e}^{-j 2 \pi f t} dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t' = -a \cdot t \end{eqnarray*}$ nach ableiten und einsetzen
$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{-a} \int_{+\infty}^{-\infty} s(t') {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{-a} \right)t'} dt' \end{eqnarray*}$
Nach tauschen der Integrationsgrenzen kommt ja raus:
$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t') {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{-a} \right)t'} dt' \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt beide Integrale miteinander vergleiche, für a > 0 und a < 0, dann ist der Integrand ja ein anderer, da ja der Exponent ein mit f/a und einmal f/-a unterschiedlich ist. Wenn ich jetzt aber sage ich lasse das minus weg, dann brauche ich ja dementsprechend keine Betragsstriche vor dem Bruch im Nenner bei a machen oder ?
$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t') {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{a} \right)t'} dt' \text{ für a > 0 und für a < 0 war ja } S(f) = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t') {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{-a} \right)t'} dt' \end{eqnarray*}$ Dann sieht man ja, dass beide Integrale bis auf das Vorzeichen nicht identisch sind.
Und das soll jetzt laut Skript folgendes sein:
$\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t') {e}^{-j 2 \pi \left(\frac{f}{a} \right)t'} dt' \end{eqnarray*}$
Was ich aber nicht verstehen kann, da ja der Exponent der E-Funktion im zweiten Integral $\begin{eqnarray*} \frac{f}{-a} \end{eqnarray*}$ ist. Also wie kommt man darauf, dass die Integrale gleich sind, wenn die E-Funktionen anders sind

02.10.2020, 17:43

Gast002

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Ich verstehe jetzt warum das Vorzeichen weggelassen werden muss. Man muss glaub ich nur darauf achten, dass man beim tauschen der Integrationsgrenzen, mit einer negativen Zahl a rechnen muss, ohne dabei ein minus mitzunehmen, damit dann bei a < 0
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ als Vorfaktor vom Integral erscheint.
Danke dir für deine Hilfe.

Egal wie lange man beim Friseur auf einen Haarschnitt wartet, irgendwann bekommt man ihn so oder so.

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