Aussagenlogik Beweis

03.10.2020, 13:45

Lilly200

Aussagenlogik Beweis

Meine Frage:
Hi, ich bin mir nicht sicher, ob ich folgende Beweise richtig gemacht habe, dabei sind die "*" als Beginn einer neuen Zeile zu sehen.

1.) Zeige, dass das hier Tautologie ist:
(F -> G) und (nichtF -> G) -> G

2.) Zeige, dass das hier Tautologie ist:
((F1 v F2) -> G) ist äquivalent zu ((F1 -> G) und (F2 -> G)

Zu 2.) meinte der Dozent, es würde reichen, zu zeigen, dass wenn die linke Seite falsch ist, auch die rechte Seite falsch ist.

Was meint ihr, sind meine Beweise so ok?

Meine Ideen:
1.) Mein Beweis:
*sei b bel. Belegung
*b(G) = f
*b((F -> G) und (nichtF -> G))=f gdw. b(F -> G) = f oder b(nicht F -> G)= f
*b(F -> G) = f gdw. b(F) = w, also b(nichtF) = f
*b(nichtF -> G) = f gdw. b(F) = f, also b(nichtF) = w

2.) Mein Beweis:
*sein b bel. Belegung
*b(linke Seite) = f gdw. b(F1 v F2) = w und b(G) = f
*b(F1 v F2) = w gdw. b(F1) = w oder b(F2) = w
*b (rechte Seite) = f gdw. b(F1 -> G) = f oder b(F2 -> G) = f
*b(F1 -> G) = f gdw. b(F1) = w, b(F2 -> G) = f gdw. b(F2) = w

03.10.2020, 16:51

zweiundvierzig

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Was sind F,G? Variablen? Die Namen sind nicht gut gewählt, besser wären p,q,...

Die Schreibweise bei (1.) ist mehrdeutig. Gemeint ist wohl $\begin{eqnarray*} \varphi := \big((p \to q) \land (\lnot p \to q) \big) \to q \end{eqnarray*}$ , denn das ist tatsächlich eine Tautologie.

Für (2.) schreiben wir $\begin{eqnarray*} \psi_1 := (p_1 \lor p_2) \to q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi_2 := (p_1 \to q) \land (p_2 \to q) \end{eqnarray*}$ . Es genügt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \psi_1 \equiv \psi_2 \end{eqnarray*}$ .

Beides lässt sich unter Benutzung aussagenlogischer Gesetze zeigen, z.B. de Morgan und co.

03.10.2020, 17:48

LisaSFuchs

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Ja, F und G sind Variablen. Stimmen denn die Beweise so? Wir sollen es mit Belegungen beweisen, nicht mit DeMorgan und nicht mit Wahrheitstafel...

03.10.2020, 19:02

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von LisaSFuchs
Ja, F und G sind Variablen.

Das ist aus mehreren Gründen keine gute Konvention, ebensowenig wie Belegungen mit b zu bezeichnen. Aber wenn das hier die Schreibweise ist, halte ich mich daran.

Zu (1): Generell gilt: Für AL-Formeln $\begin{eqnarray*} \varphi,\psi \end{eqnarray*}$ und Belegungen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} b(\varphi \to \psi)=1 \end{eqnarray*}$ gdw. aus $\begin{eqnarray*} b(\varphi) = 1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} b(\psi) = 1 \end{eqnarray*}$ . (Wahrheit à la Tarski)

Nimm an, dass $\begin{eqnarray*} b \big( (F \to G) \land (\lnot F \to G) \big) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} b(G) = 1 \end{eqnarray*}$ . Wie kannst du darauf schließen?

04.10.2020, 09:38

LisaSFuchs

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So soll ich das nicht zeigen... Ich soll wirklich sagen: wenn ... falsch ist, dann ist ... und ... wahr usw.

04.10.2020, 12:08

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Nimm an, dass $\begin{eqnarray*} b \big( (F \to G) \land (\lnot F \to G) \big) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} b(G) = 1 \end{eqnarray*}$ . Wie kannst du darauf schließen?

04.10.2020, 14:42

zweiundvierzig

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Bei den gegebenen Beweisen steckt vermutlich die richtige Idee dahinter, aber der Aufschrieb lässt zu wünschen übrig. Was soll beweisen werden? Was wird angenommen, was gefolgert?

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