Beweise, dass Wurzel 2 irrational

04.10.2020, 18:40

Laura9987

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Beweise, dass Wurzel 2 irrational

Meine Frage:
Beweise, dass Wurzel 2 irrational ist.

Stimmt mein Beweis so?

Meine Ideen:
-sei x2 = 2 in Q lösbar und die rationale Zahl p/q eine Lösung von x2 =2, d.h. (p/q)2 = 2, wobei p/q vollständig gekürzt sei, also p und q keinen gemeinsamen Faktor haben

-aus (p/q)2 = 2 folgt durch Ausmultiplizieren p2/q2 = 2 und Multiplikation mit q2 das: p2=2q2

-das bedeutet, p2 ist gerade

-daraus ergibt sich, dass p gerade ist, da Quadrat v. geraden Zahl gerade ist

-setzt man p = 2r in p2=2q2 ein, ergibt sich (2r)2 = 2q2

-daraus erhält man durch Kürzen mit 2 2r2=q2

-das bedeutet, q2 ist gerade

-daraus ergibt sich, dass q gerade ist

-nun sind aber p und q durch 2 teilbar, was Annahme, dass p/q vollständig gekürzt ist, widerspricht

04.10.2020, 19:24

G041020

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational
Das kannst du leicht googlen.
Es gibt viele Seiten dazu im Netz.
Die Frage ist ein Klassiker. smile

smile

04.10.2020, 19:26

Laura9987

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational
Mag sein, aber ich bin blutiger Anfänger und ich möchte sicher gehen ^^

04.10.2020, 19:28

G040520

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational
Gib ein bei Tante Google: wurzel 2 irrational

04.10.2020, 19:40

Elvis

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Der Beweis scheint im wesentlichen richtig zu sein, er enthält allerdings abstruse Schreibfehler, und die Logik ist auch nicht ganz richtig.

05.10.2020, 00:00

Luftikus

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Wenn man bedenkt, dass jede Quadratzahl jeden Faktor in doppelter Anzahl enthalten muss, dann folgt:

$\begin{eqnarray*} p^2 = k \cdot q^2 \rightarrow k = k'^2 \end{eqnarray*}$

Als ganze Zahl muss k damit eine Quadratzahl sein.

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05.10.2020, 07:17

Elvis

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Was willst du damit sagen? Laura9987 hat den klassischen Beweis von Euklid fast richtig vorgestellt, nur statt $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ immer wieder $\begin{eqnarray*} x2 \end{eqnarray*}$ geschrieben. Sie erklärt nicht richtig, warum aus $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade folgt, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade. Aber sonst ist der Beweis korrekt abgeschrieben. (Dass ein normaler Mensch heutzutage von selbst auf diesen Beweis kommt, glaube ich nicht.)

05.10.2020, 08:32

Luftikus

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Zitat:

Original von Elvis
Was willst du damit sagen?

Dass k=2 keine Quadratzahl (in ganzen Zahlen) ist, also ein Widerspruch zu den Voraussetzungen.

05.10.2020, 11:05

Elvis

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Wie beweist man das im klassischen Altertum, wenn man den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie über die eindeutige Zerlegung ganzer Zahlen in Primfaktoren nicht hat ?

05.10.2020, 11:17

Luftikus

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Zitat:

Original von Elvis
Wie beweist man das im klassischen Altertum, wenn man den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie über die eindeutige Zerlegung ganzer Zahlen in Primfaktoren nicht hat ?

Man benötigt hier keine Sätze über Primzahlen.
Es reicht die Erkenntnis, dass jeder Faktor von p^2 und q^2 doppelt in der Anzahl von der in p bzw. q enthalten sein muss. (p=a*b*c*.. -> p^2 = a*a*b*b*c*c*..)

05.10.2020, 14:16

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 12^2=3*48=3*\sqrt {48}^2 \end{eqnarray*}$ , daraus folgt nicht $\begin{eqnarray*} 3=3'^2 \end{eqnarray*}$
Ja, das Beispiel ist nicht ganz zutreffend, weil auch 48 "vermutlich" kein Quadrat ist. Wenn man ein Beispiel mit richtig großen Zahlen wählt, so mit ca. 10 Millionen Dezimalziffern, dann wäre Euklid garantiert daran gescheitert. Bei solchen Beweisen und Argumentationen ist Vorsicht geboten.

05.10.2020, 14:26

Luftikus

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} 12^2=3*48=3*\sqrt {48}^2 \end{eqnarray*}$ , daraus folgt nicht $\begin{eqnarray*} 3=3'^2 \end{eqnarray*}$
Ja, das Beispiel ist nicht ganz zutreffend, weil auch 48 "vermutlich" kein Quadrat ist. Wenn man ein Beispiel mit richtig großen Zahlen wählt, so mit ca. 10 Millionen Dezimalziffern, dann wäre Euklid garantiert daran gescheitert. Bei solchen Beweisen und Argumentationen ist Vorsicht geboten.

Wenn du selbst bemerkst, dass das Beispiel nicht zutrifft, wieso verwendest du es dann?

Voraussetzung: p, q ganz

p^2 = k * q^2

Und jetzt such ein neues Gegenbeispiel. smile

smile

05.10.2020, 14:51

Luftikus

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Zitat:

Original von Elvis
dann wäre Euklid garantiert daran gescheitert. Bei solchen Beweisen und Argumentationen ist Vorsicht geboten.

Es kommt immer darauf an, in welchem Kontext man denkt. Ein Switch zu einem einfacheren ist oft schwieriger, als die Lösung im vertrauten Kontext zu suchen. Warum Euklid letztlich nicht auf diese einfache Idee gekommen ist, ist aber auch mir schleierhaft.

05.10.2020, 15:34

Huggy

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational
Der Beweis ist nicht ganz vollständig. Der entscheidende Teil ist:

Zitat:

Original von Laura9987
-das bedeutet, p2 ist gerade

-daraus ergibt sich, dass p gerade ist, da Quadrat v. geraden Zahl gerade ist

Das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade. Das ist richtig und auch leicht zu beweisen. Hier wird aber der Umkehrschluss gebraucht: Wenn eine Quadratzahl $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade. Das ist auch richtig. Aber etwas Richtiges hinzuschreiben ist noch kein Beweis, dass es richtig ist. Es ist also dieses fehlende Beweisteil zu ergänzen.

Zitat:

Original von Luftikus
Wenn man bedenkt, dass jede Quadratzahl jeden Faktor in doppelter Anzahl enthalten muss

Das stimmt nicht! $\begin{eqnarray*} 6^2=36 \end{eqnarray*}$ ist eine Quadratzahl. $\begin{eqnarray*} 4, 9, 12 ,18 \end{eqnarray*}$ sind alles Faktoren von $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 4^2, 9^2,12^2, 18^2 \end{eqnarray*}$ sind keine Faktoren von $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ . Für Primfaktoren ist das allerdings richtig. Der Beweis der Irrationalität von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ sollte jedoch vorzugsweise ohne Rückgriff auf die Primfaktorzerlegung erfolgen.

05.10.2020, 16:11

Luftikus

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Luftikus
Wenn man bedenkt, dass jede Quadratzahl jeden Faktor in doppelter Anzahl enthalten muss

Das stimmt nicht! $\begin{eqnarray*} 6^2=36 \end{eqnarray*}$ ist eine Quadratzahl. $\begin{eqnarray*} 4, 9, 12 ,18 \end{eqnarray*}$ sind alles Faktoren von $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 4^2, 9^2,12^2, 18^2 \end{eqnarray*}$ sind keine Faktoren von $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ . Für Primfaktoren ist das allerdings richtig. Der Beweis der Irrationalität von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ sollte jedoch vorzugsweise ohne Rückgriff auf die Primfaktorzerlegung erfolgen.

Das ist nicht gemeint.
Gemeint ist, dass jeder Faktor von p in p^2 doppelt enthalten ist:

Bsp:

p=2*2*3

p^2=2*2*6*6=4*4*3*3=2*2*2*2*3*3

Nichts anderes wurde in der Behauptung verwendet.

05.10.2020, 16:23

Huggy

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational

Zitat:

Original von Luftikus
Gemeint ist, dass jeder Faktor von p in p^2 doppelt enthalten ist:

Oben hast du es aber umgekehrt geschrieben. Und du hast es auch umgekehrt benutzt. Du hast aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Teiler von $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ ist, geschlossen, das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist. Dieser Schluss ist nicht generell richtig. $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ ist Teiler von $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ , aber keine Quadratzahl.

05.10.2020, 17:05

Luftikus

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Luftikus
Gemeint ist, dass jeder Faktor von p in p^2 doppelt enthalten ist:

Oben hast du es aber umgekehrt geschrieben. Und du hast es auch umgekehrt benutzt. Du hast aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Teiler von $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ ist, geschlossen, das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist. Dieser Schluss ist nicht generell richtig. $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ ist Teiler von $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ , aber keine Quadratzahl.

Ja, aber dieses Beispiel erfüllt auch nicht p^2 = k*q^2

Ich setze die Gultigkeit dieser Gleichung voraus, mit k,p,q ganz.

p*p=k*q*q

Dann schliesse ich:
dieser Faktor k muss dann in p*p doppelt auftreten, da in p^2 jeder Faktor von p doppelt auftritt.
Das gilt aber ggfs. auch für q^2.
Dann, wenn diese Gleichung gültig sein soll(!), muss gelten:
k = k'^2 mit k' ganz.

Habe ich einen Denkfehler?

PS: Verständlich sollte sein:

p=a*b*c*...
p^2=a*a*b*b*c*c..

Jeder so mit beiden p kosntruierte Teiler von p^2 tritt doppelt auf!
Also diese Faktoren müssen sich auf k*q^2 verteilen.
In q^2 gilt aber dasselbe, alle Faktoren treten doppelt auf.
Daher muss k ein Faktor der Form x*y*x*y.. also eine Quadratzahl sein

05.10.2020, 17:33

Huggy

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational

Zitat:

Original von Luftikus
dieser Faktor k muss dann in p*p doppelt auftreten, da in p^2 jeder Faktor von p doppelt auftritt.
Das gilt aber ggfs. auch für q^2.
Dann, wenn diese Gleichung gültig sein soll(!), muss gelten:
k = k'^2 mit k' ganz.

Du schreibst immer Faktor. Richtig ist es aber nur für Primfaktoren. Und aus der Tatsache, dass in jeder Quadratzahl jeder Primfaktor doppelt auftritt (genauer: in gerader Potenz), kann man auch schließen, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist.

05.10.2020, 17:37

Luftikus

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Luftikus
dieser Faktor k muss dann in p*p doppelt auftreten, da in p^2 jeder Faktor von p doppelt auftritt.
Das gilt aber ggfs. auch für q^2.
Dann, wenn diese Gleichung gültig sein soll(!), muss gelten:
k = k'^2 mit k' ganz.

Du schreibst immer Faktor. Richtig ist es aber nur für Primfaktoren. Und aus der Tatsache, dass in jeder Quadratzahl jeder Primfaktor doppelt auftritt (genauer: in gerader Potenz), kann man auch schließen, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist.

Faktor ist schon das richtige Wort. Nochmal, jeder(!) Faktor von p tritt in p^2 doppelt auf!
Einverstanden?
Also a*a*b*b*c*c..=k*q^2

Man kann jetzt ein Teilmenge doppelter Faktoren auf q^2 verteilen. Übrig bleibt dann aber für k auch eine Menge doppelter Faktor, eben eine Quadratzahl.
Das ist das Kriterium für die Gültigkeit von p^2=k*q^2 mit k,p,q ganz

05.10.2020, 17:51

Luftikus

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PS: "verteilen auf q^2" ist vielleicht zu schwach formuliert. Es wird ja gerade für den Schluss vorausgesetzt, dass q^2 ein Teiler von p^2 ist, dass es also so eine Menge doppelter Teiler existiert. (bis auf den trivialen Fall 1*1)

05.10.2020, 18:00

Huggy

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational

Zitat:

Original von Luftikus
Man kann jetzt ein Teilmenge doppelter Faktoren auf q^2 verteilen.

Man kann überhaupt keine Faktoren von $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ verteilen. $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sind doch schon zu Anfang als teilerfremd angenommen. Letztlich läuft bei dir alles auf die eindeutige Primfaktorzerlegung der beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} p^2 =k q^2 \end{eqnarray*}$ hinaus.

05.10.2020, 18:08

Luftikus

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Luftikus
Man kann jetzt ein Teilmenge doppelter Faktoren auf q^2 verteilen.

Man kann überhaupt keine Faktoren von $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ verteilen. $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sind doch schon zu Anfang als teilerfremd angenommen. Letztlich läuft bei dir alles auf die eindeutige Primfaktorzerlegung der beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} p^2 =k q^2 \end{eqnarray*}$ hinaus.

Mein Beweis hat nichts mit dem von Eukkid zu tun.
Ich möchte beweisen, dass aus Gültigkeit von p^2=k*q^2 folgt, dass k=k'^2, also eine Quadratzahl sein muss

p^2 enthält dabei jeden Faktor (nicht unbedingt Primfaktor) von p doppelt.
Insbesondere gibt es so nach Voraussetzung ein Telmenge von doppelten Faktoren von p, die q^2 entspricht:
Die Aussage ist nun, dass auch k eine Teilmenge doppelter Faktoren von p sein muss, also eine Quadratzahl.
Dies deswegen, weil dies selbst für den Teilfaktor q^2 (als quadratischen Faktor) gilt.

05.10.2020, 18:14

Elvis

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Wenn dir soviel daran liegt, einen Beweis zu erstellen, der nicht auf dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie oder auf dem euklidischen Beweis beruht, dann mache bitte einen vollständigen Beweis dafür, dass die Wurzel aus 2 irrational ist. Vielleicht ist dein Beweis dann falsch, richtig, unwichtig oder interessant. Bin gespannt, was herauskommt. Angreifbare mehrdeutige Andeutungen sind jedenfalls zu wenig, da war Laura9987 schon weiter.

05.10.2020, 18:56

Luftikus

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Zitat:

Original von Elvis
Wenn dir soviel daran liegt, einen Beweis zu erstellen

Hm eigentlich ist der Beweis schon erbracht. smile

smile

p,q,k ganze Zahlen und p^2=k*q^2 => k=k'^2 mit k' ganz (und Teiler von p)

1*1=1 < k=2 < 2*2=4 => sqrt(2) nicht rational

05.10.2020, 19:16

Luftikus

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RE: Beweise, dass Wurzel 2 irrational

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Luftikus
Man kann jetzt ein Teilmenge doppelter Faktoren auf q^2 verteilen.

Man kann überhaupt keine Faktoren von $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ verteilen. $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sind doch schon zu Anfang als teilerfremd angenommen. Letztlich läuft bei dir alles auf die eindeutige Primfaktorzerlegung der beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} p^2 =k q^2 \end{eqnarray*}$ hinaus.

Was dahintersteckt, lässt sich auch so formulieren:
Sei eine beliebige (grosse) Quadratzahl p^2 gegeben.
Sei weiter eine beliebige Quadratzahl q^2, gegeben die p^2 teilt, also:

k = p^2/q^2 ganz

Dann ist die Behauptung: k ist eine Quadratzahl!

(fast trivial)

05.10.2020, 19:48

Elvis

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Zitat:

Original von Luftikus
1*1=1 < k=2 < 2*2=4 => sqrt(2) nicht rational

Leider nicht richtig. Daraus können wir nur schließen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ keine ganze Zahl ist. Nicht rational ist eine unendlich stärkere Aussage, die Euklid bewiesen hat. Das ist nicht trivial, das ist genial. Einer der schönsten Beweise, die es überhaupt in der Mathematik gibt. Es lohnt sich, nicht nur die Tatsache zur Kenntnis zu nehmen sondern diesen Beweis detailliert zu untersuchen und zu verstehen.

05.10.2020, 20:12

Luftikus

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Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von Luftikus
1*1=1 < k=2 < 2*2=4 => sqrt(2) nicht rational

Leider nicht richtig. Daraus können wir nur schließen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ keine ganze Zahl ist.

Ne, daraus schliessen wir, dass 2 keine Quadratzahl ist, also

2 != p^2/q^2 mit p,q ganz.

PS: ja, Euklids Beweis ist Klasse. Aber man sollte auch weitere Wege suchen.

05.10.2020, 20:49

Huggy

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@ Luftikus
Ein letzter Versuch von mir:

Du möchtest beweisen, dass aus $\begin{eqnarray*} p^2=kq^2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist. Dabei fängst du mit dem unbestrittenen Sachverhalt an, dass $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ Faktorisierungen besitzt, bei denen jeder Faktor quadratisch vorkommt. $\begin{eqnarray*} p^2=p \cdot p \end{eqnarray*}$ selbst ist schon eine solche Faktorisierung. Und wenn man $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ faktorisieren kann, erhält man weitere solche Faktorisierungen.

Doch dann gehst du weiter davon aus, auch wenn du es nicht explizit sagst, dass $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ nur solche Faktorisierungen besitzt. Das ist zwar richtig, aber woher weißt du das? Bei einem konkreten $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kann man das prüfen, weil es nur endliche viele Möglichkeiten gibt. $\begin{eqnarray*} 6^2 \neq 5 \cdot 7 \end{eqnarray*}$ . Das ist daneben, wenn auch nur knapp. Weshalb gilt das ganz allgemein für beliebiges $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und sei es noch so groß? Du magst vielleicht sagen, das sei doch völlig klar, aber das ist kein Beweis. Weshalb ist das so? Es gilt wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahlen!

Deshalb steckt in deinen Beweisversuchen immer versteckt diese eindeutige Primfaktorzerrlegung. Euklid benutzt diese nicht. Er benutzt den in der Wiki dargestellten Beweis einschließlich des dort in die Fußnote 3 ausgelagerten Beweisteils:

https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der...us_2_bei_Euklid

05.10.2020, 21:49

Luftikus

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Zitat:

Original von Huggy

Doch dann gehst du weiter davon aus, auch wenn du es nicht explizit sagst, dass $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ nur solche Faktorisierungen besitzt. Das ist zwar richtig, aber woher weißt du das? Bei einem konkreten $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kann man das prüfen, weil es nur endliche viele Möglichkeiten gibt. $\begin{eqnarray*} 6^2 \neq 5 \cdot 7 \end{eqnarray*}$ . Das ist daneben, wenn auch nur knapp. Weshalb gilt das ganz allgemein für

Wovon ich eigentlich ausgehe, im Gegensatz zu Euklid, ist die Richtigkeit von:

p/q = sqrt(k)

Ob es solche p,q,k ganz gibt, so dass das gilt, weiss ich nicht.
Aber ich kann aus der Richtigkeit etwas ableiten:

p^2=k*q^2
(mit den richtig angenommenen p,q,k)

p^2 enthält jetzt alle Faktoren von p doppelt.
q^2 enthält jetzt alle Faktoren von q doppelt.

Damit die letzte Gleichung aber überhaupt gilt, wenn die erste Gleichung gilt, dann muss aber auch gelten:

k=k'^2, damit die Anzahl doppelter Faktoren stimmt. (ganz ohne Annahmen über Primzahlen).

Wenn also die erste Gleichung gilt (mit beliebigen p,q,k), und damit auch die zweite Gleichung, dann (und nur dann) muss auch k eine Quadratzahl sein.

Ich kann daraus auch schliessen, wenn ich die erste Gleichungs als richtig annehme, aber k keine Quadratzahl ist, dann muss diese Annahme (mit angenommenen p,q,k) falsch sein.

Ein Spezialfall ist k=2. Wie auch immer p und q konkret angenommen werden k muss eine Quadratzahl sein. Widerspruch!

Ich hoffe, die Argumentationskette wird jetzt verständlicher.

05.10.2020, 22:40

Elvis

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Dein Versuch überzeugt nicht. Wenn die Wurzel aus 2 rational ist, dann ist 2 Quadrat dieser rationalen Zahl. $\begin{eqnarray*} k=(\sqrt k) ^2 \end{eqnarray*}$ gilt immer und sagt nichts über $\begin{eqnarray*} \sqrt k \end{eqnarray*}$

05.10.2020, 22:56

Leopold

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Wie man das durch Rückgriff auf den Fundamentalsatz der Arithmetik richtig machen kann, steht hier.

06.10.2020, 00:27

Luftikus

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Zitat:

Original von Elvis
Dein Versuch überzeugt nicht. Wenn die Wurzel aus 2 rational ist, dann ist 2 Quadrat dieser rationalen Zahl. $\begin{eqnarray*} k=(\sqrt k) ^2 \end{eqnarray*}$ gilt immer und sagt nichts über $\begin{eqnarray*} \sqrt k \end{eqnarray*}$

Das ist nicht ganz richtig.
Es wird ja gerade ein k vorausgesetzt, so dass die Wurzel rational sein soll.
Unter dieser Bedingungen wird das Kriterium für allgemeines k als Quadratzahl abgeleitet.

Euklid dagegen konstruiert mit der rationalen Darstellung einen Widerspruch.

06.10.2020, 07:23

Elvis

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Luftikus, du drehst dich im Kreis und kommst nicht weiter, denn du versteckst immer wieder die zu beweisende Aussage im Beweis. Wir haben Euklids Beweis und wir haben Leopolds Beweis, also ist die Aussage wahr. Wenn wir das nicht wüssten, wäre ein Beweis nicht selbstverständlich, denn in jeder beliebig kleinen Umgebung von $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ liegen unendlich viele rationale Zahlen und unendlich viele nichtrationale Zahlen. Eine Entscheidung kann man nicht durch undeutliche Gedanken und kurze Bemerkungen sondern nur durch einen messerscharfen Beweis fällen.

06.10.2020, 12:42

Luftikus

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Zitat:

Original von Elvis
Wir haben Euklids Beweis

Euklids Beweis ist natürlich 1. schön 2. historisch wichtig, weil er die Existenz irrationaler Zahlen gezeigt hat. Also lassen wir meinen "Beweis" an dieser Stelle ruhen.

Eine Sache bei Euklids Beweis scheint mir aber etwas komisch (muss an mir liegen), vielleicht kannst du als Kenner der Materie mich da aufklären:

p und q werden als teilerfremd angenommen, okay. Dann sind auch p^2 und q^2 teilerfremd, oder?
Dann kann es aber doch keine in ganzen Zahlen(!) gültige Gleichung:

p^2 = 2 * q^2 geben,

da dann q^2 Teiler von p^2 wäre? Für den weiteren Beweis wird aber die Gültigkeit vorausgesetzt.

Wie löst sich dieser scheinbare Widerspruch?

06.10.2020, 12:56

Elvis

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Zitat:

Original von Luftikus
p und q werden als teilerfremd angenommen, okay. Dann sind auch p^2 und q^2 teilerfremd, oder?

Wie beweist man das ohne den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie ?

06.10.2020, 13:03

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von Luftikus
p und q werden als teilerfremd angenommen, okay. Dann sind auch p^2 und q^2 teilerfremd, oder?

Wie beweist man das ohne den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie ?

Hältst du die Aussage für falsch?
Wie man das beweist sei auch mal dahingestellt (mal davon ab, dass es fast trivial ist), aber es ist doch ein Faktum, um das es geht.

Wenn als p^2 und q^2 teilerfremd sind, dann ist die folgende Gleichung in ganzen zahlen doch schon widersprüchlich:

p^2 = 2 * q^2

06.10.2020, 13:04

Huggy

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@Elvis
Vergebliche Liebesmühe! Luftikus ist mehrfach auf diese Lücke in seiner Argumentation hingewiesen worden Er schnallt es einfach nicht!!!

06.10.2020, 13:15

Luftikus

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Zitat:

Original von Huggy
@Elvis
Vergebliche Liebesmühe! Luftikus ist mehrfach auf diese Lücke in seiner Argumentation hingewiesen worden Er schnallt es einfach nicht!!!

Jetzt geht es aber um das Verständnis von Euklids Beweis. Welche der drei folgenden Aussagen ist denn deiner Meinung nach falsch und warum:

1) p und q sind teilerfremd

2) p^2 und q^2 sind teilerfremd

3) p^2 = 2 * q^2 kann in den ganzen Zahlen keine Lösung haben, da ansonsten q^2 teilt p^2

?

06.10.2020, 13:47

Elvis

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Die Aussage "Wenn ich der Kaiser von China bin, dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ rational." ist eine wahre Aussage, aber kein Beweis für die Rationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ . Die Aussage "Wenn du der Kaiser von China bist, dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ irrational." ist eine wahre Aussage, aber kein Beweis für die Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ . Es geht bei Beweisen nicht darum, was wahr oder falsch ist, es geht darum, was beweisbar ist und wie es bewiesen wird.

Wenn du ernst genommen werden möchtest, dann mache aus dem, was du für richtig hältst, einen vollständigen Beweis, dann erkenne ich ihn an (wenn ich ihn für richtig halte) oder widerlege ihn (wenn ich kann).

06.10.2020, 13:47

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy
@Elvis
Vergebliche Liebesmühe! Luftikus ist mehrfach auf diese Lücke in seiner Argumentation hingewiesen worden Er schnallt es einfach nicht!!!

Vor nicht allzu langer Zeit hatten wir ein ähnliches Verhalten. Man kann da mit Argumenten nichts erreichen.

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