Dreiecksfläche

08.10.2020, 15:36	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksfläche bei einem Dreieck seien die Mittelsenkrechten Halbgeraden und nach außen orientiert. Der Umkreis schneidet davon 3 Strecken mit den Längen 1,2 und 3 ab. [attach]51990[/attach] Welchen exakten Flächeinhalt hat das Dreieck? irgendwie steck' ich da im Gewirr von Gleichungen und Substitutionen fest.
08.10.2020, 18:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst ist der Kreisradius zu berechnen. Das folgt aus den rechtwinkeligen Dreiecken, die die drei halben Seiten mit dem Radius bilden. Die Gleichung dazu (Wurzelgleichung bzw. höheren Grades) lässt sich verhältnismäßig problemlos erstellen, allerdings nicht die Lösung algebraisch. Diese habe ich mit einem CAS zu r = rd. 3,88 berechnet (eine zweite reelle Lösung ist 1,5) Da r größer als 3 sein muss, ist 1,5 auszuschließen. Ist einmal r bekannt, so dann auch die Seiten des Dreieckes, A ist dann $\begin{eqnarray} A = \frac{abc}{4r} \end{eqnarray}$ mY+
08.10.2020, 19:10	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kann das Ergebnis von Mythos nur bestätigen
08.10.2020, 19:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch eine Grafik und der prinzipelle Rechenweg: [attach]51992[/attach] Mittels der 3 rechtwinkeligen Dreiecke ist: $\begin{eqnarray} \left(\frac c 2\right)^2 = 6r - 9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\frac a 2\right)^2 = 4r - 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\frac b 2\right)^2 = 2r - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos \alpha = \frac{r - 2} r; \ \cos \beta = \frac{r - 1} r \end{eqnarray}$ Allgemeine, bekannte Beziehungen im Dreieck (r .. Umkreisradius): $\begin{eqnarray} \sin \alpha = \frac a {2r}; \ \sin \beta = \frac b {2r}; \ \sin \gamma = \frac c {2r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(\alpha + \beta) = \sin \gamma = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos\alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c \cdot r = a(r-1) + b(r-2) \end{eqnarray}$ Mit diesen Beziehungen ergibt sich schließlich die in der Grafik ersichtliche Wurzelgleichung. Möglicherweise kann diese irgendwie auch algebraisch gelöst werden (verdächtig ist die Anzahl von 2 reellen Lösungen, das kann letztendlich auf eine Gleichung 2. oder 4. Grades hindeuten). mY+
08.10.2020, 20:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ mYthos Die Lösung $\begin{align} r=x \end{align}$ deiner Wurzelgleichung ist $\begin{align} x = 2 \left( 1 + \cos \left( \frac{1}{9} \pi \right) \right) \end{align}$ Zunächst habe ich in der Wurzelgleichung standardmäßig die Wurzeln eliminiert und nach weiteren Umformungen, unter anderem nach Kürzen des Linearfaktors $\begin{align} x - \frac{3}{2} \end{align}$ , die kubische Gleichung $\begin{align} x^3 - 6x^2 + 9x - 3 = 0 \end{align}$ erhalten. Mit $\begin{align} x = y+2 \end{align}$ wird daraus $\begin{align} y^3 - 3y - 1 = 0 \end{align}$ Die Formel von Cardano führt ans Ziel. Von den drei reellen $\begin{align} y \end{align}$ -Lösungen ist die positive geometrisch brauchbar.
08.10.2020, 21:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
auf die Älteren ist eben Verlass .. Ich habe jetzt das Dreieck nicht beschriftet aber das dürfte kein Problem darstellen. $\begin{eqnarray} 2r=\frac {a}{\sin \alpha}\quad a=\sqrt{4r-4}\quad \sin\alpha=\frac {2\sqrt{3r}}{3\sqrt{2r-1}}\quad F=4\sqrt{r(2r-3)}, [r>1.5] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \qquad\Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r^3-6r^2+9r=0 \end{eqnarray}$ und mit ... ...ups, ich sehe, dass Leopold gerade noch rechtzeitig gepostet hat, es gibt noch Leben am matheboard! womit ich dann insgesamt auf $\begin{eqnarray} F= 4\sqrt{2+8\cos^2\frac{\pi}{9}+10\cos \frac{\pi}{9}}\approx 17.187 \end{eqnarray}$ komme.
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